【金版教程】高考数学(理)二轮复习专题整合突破练习：高考中的数列(解答题型)含答案

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?1?

(1)求证：数列?S?是等差数列；

?n?

1113

(2)证明：当n≥2时，S1＋2S2＋3S3＋…＋nSn<2.

2S2n证明 (1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，S－－Sn＝2SnSn－1，

2Sn－1n1

?1?11

??是以1为首项，2为公差的等差数列． －＝2，从而SnSn－1?Sn?

11

(2)由(1)可知，S＝S＋(n－1)×2＝2n－1，

n

1

111111

∴Sn＝，∴当n≥2时，＝nSn＝n?2n－1?

－n?， ?2?n－1?

11111?31111?

1－＋－＋…＋－?从而S1＋2S2＋3S3＋…＋nSn<1＋2?223n－1n?＝2?13

－2n<2. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝4，Sn＋1＝5Sn－4Sn－1(n≥2)，等差数列{bn}满足b6＝6，b9＝12，

(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

1??

(2)若对于任意的n∈N，?Sn＋3?·k≥bn恒成立，求实数k的取值范

??

*

围．

解 (1)∵Sn＋1＝5Sn－4Sn－1?Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)?an＋1＝4an(n≥2)

∵a1＝1，a2＝4?a2＝4a1，所以数列{an}为等比数列，an＝4n－1， 3d＝b9－b6＝6?d＝2，bn＝6＋(n－6)×2＝2n－6，

故所求数列{an}，{bn}的通项公式为an＝4n－1，bn＝2n－6. 1－4n1n

(2)数列{an}的前n项的和为Sn＝＝(4－1)，

1－436n－181??4n

?Sn＋?·

3?k≥bn?3×k≥2n－6?k≥4n， ?

6n－186n－186?n－1?－18－18n＋78设Cn＝4n，Cn－Cn－1＝4n－＝， 4nn－1当n≤4时，Cn>Cn－1，当n≥5时，C＝334128，所以k≥128.

4Cn

最大，所以