2020 年塘沽一中高三毕业班第二次模拟考试
数学
第 I 卷
注意事项:本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、选择题
1. 设复数 z 满足z·(1+i)=2i+1 (i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于().
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2. 已知集合 A ?{x ? Z |
x
? 0}, 则集合A 真子集的个数为( ) x ? 3
C.7
D.8
A.3 B.4
3.已知 m 为实数,直线l1 : mx ? y ?1 ? 0,l2 : (3m ? 2)x ? my ? 2 ? 0, 则“m=1”是“ l1 / /l2 ”的() A.充要条件 C.必要不充分条件
2 2 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
y2 x2 4. 已知圆 x ? y ? 4x ? 2y ?1 ? 0 关于双曲线 C： 2 ??2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线对称,则双曲
ab
线 C 的离心率为()
A.
5
B.5
C.
52
D.
5 4
5. 已知数列{a }的通项公式是a ? n2 sin(
n
n
2n ?1
? ), 则a ? a ? a ? ? a ? ()
1 2 3 12
2
A.0 B.55 C.66 D.78
1x( ) ?1, 则 6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件 y= f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时, f (x) ??2
1
a ? f (log 2), b ? f (?log ), c=f(3)的大小关系是( )
3 3 2A. a>b>c
B. b>c> a
C. b>a>c
D. c>b>a
?
x ??对 称 ， 对 满 足 7. 已 知 函 数 f(x)=sin(ωx+θ), 其中 0>0, ? ??(0, ), 其 图 象 关 于 直 线
6 2
? ?
| f (x ) ? f (x ) |? 2 的 x , x , 有| x ? x | ? , 将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度得到函数 g(x)的
1 2 min 1 2 1 2
2 6
图象，则函数 g(x)的单调递减区间是()
??
A. [k? ? , k? ? ](k ? Z )
6 2 ? 5?
C. [k? ? , k? ? ](k ? Z )
3 6 ? ?
?
B. [k? , k? ? ](k ? Z )
2 ?7?
D. [k? ? ?, k? ? | (k ? Z )
12 12
8. 袋中装有标号为 1, 2, 3, 4, 5, 6 且大小相同的 6 个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，
如果两个号码的和是 3 的倍数，则获奖，若有 5 人参与摸球，则恰好 2 人获奖的概率是()
B. C. D. 243 243 243 ?x ln x ? 2x, x ? 0
9. 已知函数 f (x) ? 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线 y=-1 的对称点在 y= ?2
x ? 2x, x ? 0 ??
kx-1 的图像.上，则实数 k 的取值范围是( )
40
A. 243
1 A. ( ,1)
2
B. (0,1)
0) C. (??, 2
第 II 卷
1
D. (-1,0)
二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)
10. 函数 f (x) ??
log0.5 (4x ? 3) 的定义域是 2
11. 已知二项式(x2 ?
)n 的展开式中各项的二项式系数和为 512，其展开式中第四项的系数 x
12. 已知 F 是抛物线C : y2 ? 2x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中
点,则|FN|=
13. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上, PA=PB=PC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,PA⊥PC,
则球O 的体积为
.
14. 若△ABC 的面积为
1 2c
(a ? c2 ? b2 ) ,且∠C 为钝角,则∠B= ; 的取值范围是 4 a
ac cc ?
15.已知 a>0,b>0,c≥4,且 a+b=2,则 ? ? ??5 的最小值为
b ab 2 c ? 2
三.解答题(共 5 个大题，共 75 分) 16. (本题满分 14 分)
4 月 23 日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况， 采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12 名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:
(1) 从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取 2 人，求这 2 人来自同一个小组的概率;
(2) 从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取 2 人，用 X 表示抽得甲组学生的人数,求随机变量X 的
分布列和数学期望.
17. (本题满分 15 分)
如图，已知四边形ABCD 的直角梯形, AD// BC, AD⊥DC，AD=4,DC= BC=2, G 为线段 AD 的中点, PG ⊥平面 ABCD, PG=2, M 为线段 AP 上一点(M 不与端点重合).
(1)若 AM=MP,
(i) 求证:PC//平面 BMG ;
(ii) 求平面PAD 与平面BMD 所成的锐二面角的余弦值;
(2)否存在实数λ 满足 AM ? ? AP, 使得直线PB 与平面 BMG 所 成的角的正弦值为
10 5
, 若存在，确定 λ 的值，若不存在，请说明理由.
x2 y2
18. (本题满分 15 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b>0)的焦距为 2,且过点 P(2,0) .
ab
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 F 为 C 的左焦点，点M 为直线 x=-4 上任意一点,过点 F 作 MF 的垂线交C 于两点 A, B
(i)证明: OM 平分线段AB (其中O 为坐标原点); (ii) 当
| MF |
取最小值时,求点 M 的坐标.
| AB |
19. ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an }
的前 n 项 和 为 Sn , 满足
a2 ? 2S ? n ? 4, a ?1, a , a , 恰为等比数列{b }的前 3 项
n?1 n 2 3 7 n
(1) 求数列{an}, {bn}的通项公式;
m nb , 求整数 m 的最大值; n}的前 n 项和T ;若对?n ? N* 均满足T ??(2) 求数列{ n n2020 an an?1
(3) 是否存在数列{c }，满足等式
n
?a ?1)c
n
i i?1
n?1?i
? 2n?1 ? n ? 2 成立，若存在,求出数列{c }的通项公式;
n
若不存在，请说明理由.
20. (本题满分 16 分)已知 f(x)= asin(1-x)+lnx,其中 a∈R. (1)当 a= 0 时，设函数 g(x) ? f (x) ? x2, 求函数 g(x)的极值. (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上递增，求 a 的取值范围;
n
(3)证明:
?sin (2 ? k)? ln 3 ? ln 2 .
k ?1
2
1
2020 届塘沽一中高三毕业班线上二模考试试题
数 学
参考答案
一．选择题：（每小题 5 分，共计 45 分） DCAAD ,CBCB
二．填空：（每小题 5 分，共计 30 分）
10.
3
( ,1] 4
3
；
11. -672 ；
12.
2 5 5 2
13.
6? 14. 45
?
( 2, ??)
15.
三．解答题
16.（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为 4,3,2,3（人），
从参加问卷调查的 12 名学生中随机抽取两名的取法
c ? 66
2
12
2 2
共有（种）， 有（种），
抽取的两名学生来自同一小组的取法共
c ? 2 c ? c ? 13
4 3
2 2 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为
P ?
13
66
（2）由（1）知，在参加问卷调查的 12 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 4 人、2 人， 所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数 X 的可能取值为 0,1,2
X P
0 1/15 1 8/15 2 6/15 所求 X 的期望为
4
3
17.（Ⅰ）（i）证明：连接 AC 交 BG 于点O ，连接OM ， CG ，依题意易证四边形 ABCG 为平行四边形. ∴ AO ? OC 又∵ PM ? MA ，
∴ MO ? PC 又∵ MO ? 平面 BMG ， PC ?平面 BMG ， ∴ PC ? 平面 BMG .
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