湖北省黄冈市2010年秋季高二期末考试数学试题

黄冈市2010年秋季高二期末考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 若二项式?1?ax?的展开式各项系数和是64，则正常数a的值为（ C ）

A．?1 B．4 C．3 D．2

2. 从6名男生和3名女生中选出4人参加学校辩论比赛，如果男生中的甲和女生中的乙必

须在内，则共有选法种数是（ B ）

A．35 B．21 C．42 D．210 3. 已知随机变量ξ的分布列为： ? 0 ?1 1 P 50.7 0.2 0.1 则?最可能出现的值是（ B ） A．0.7 B．?1 C．0 D．1

4. 5555?10被8除所得的余数是（ A ）

A．1 B．2 C．3 D．5 5. 读下面两个程序:

甲:i=1 乙:i=200 S=0 S=0 WHILE i＜=200 DO S=S+i S=S+i i=i+1 i=i-1

WEND LOOP UNTIL i＜1 PRINT S PRINT S END END

对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是（ B ）

A. 程序不同,结果不同 B. 程序不同,结果相同

C. 程序相同,结果不同 D. 程序相同,结果相同 6. 在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的为（ D ）

A. 模型①的相关指数为0.351 B. 模型②的相关指数为0.766 C. 模型③的相关指数为0.076 D. 模型④的相关指数为0.906

7. 在大小相同的5个球中，有3个是红球，2个是白球，若从中任取2个球，则所取的2个

球中至少有一个白球的概率是（ A ）

A．0.7 B．0.3 C．0.4 D．0.6

8. 随机变量?的概率分布规律为P???k??a?11?2k?（k?1、2、3、4、5），其

13??5中a是常数，则P?????的值为（ D ）

5??25255259. 设随机变量?服从正态分布N(3,7),若P(ξ＞a+2)=P(ξ＜a-2),则a=（ C ）

A．

3 B．

3 C．

4 D．

8

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍

数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P?BA??（ A ） 122二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

5127113A． B． C． D．

211. 若给定一组数据为xi (i?1，2，?，n)，其方差为s，则数据axi (i?1，2，?，

n)的方差为___________.aS

1

22

12. 若随机向一个边长为1的正三角形内丢一粒豆子(假设该豆子一定落在三角形内), 则豆

子落在此三角形内切圆内的概率是_______.

3?9

13. 由数字1，2，3，?，9组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“135”)或严格递

减(如“641”)顺序排列的数的个数是________.(用数字作答)168 14. 执行如右图所示的程序框图，输出的T?_______.12

15. 设集A??1,2,?,n?，B??n?1,n?2,?,2n?，(n?N*且n≥2)，现将集合A和

记Pij表示元素i和j同B分别作为总体,从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本，

Pij?_________；时出现在样本中的概率。当1≤i≤n≤j≤2n时，当1≤i?j≤2n，

且i、j不在同一总体中时，所有Pij的和为__________.

4n2，4

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

?已知等差数列?an?的首项是二项式??x?2?公差为二项式展开式?展开式的常数项，

x?5的各项系数和，求数列?an?的通项公式。 ?【解】由于二项式??r52?x??展开式的通项为：

x?5?rr52??rr3?rTr?1?Cx?????2Cx. ??5?x??令3?r?0得r?3

??∴常数项为T4???2?C5??160，即a1??160.???5′

33 又二项式展开式的各项系数和即为x?1时二项式的值，∴d?1.???8′ 故数列?an?的通项公式为an??160??n?1??1?n?161.???12′

17.（本小题满分12分）

甲、乙两位同学都参加了本次调考，已知甲做5道填空题的正确率均为0.6，设甲做对填

5?k空题的题数为?，乙做对填空题的题数为?，且P???k??a?2（k?1、2、3、4、

5） (a为正常数)，试分别求出?，?的分布列，并用数学期望来分析甲、乙两位同学解答

填空题的水平。

【解】依题意知，?服从二项分布，即??B?5,0.6?.

∴E????5?0.6?3.???4′ 又由题设可得?的分布列如下表

2

? P 1 16a 2 8a 3 4a 4 2a 5 a 131 由分布列的性质得16a?8a?4a?2a?a?1，∴a?.???8′ 131?E???.???10′

∴E????1?16a?2?8a?3?4a?4?2a?5?a?57?∴甲解答填空题的水平高于乙。???12′

18.（本小题满分12分）

在袋中装有15个小球，其中有n个红球，6个蓝球，5个黄球，其余的为白球。已知从

31袋中取出3个都是相同颜色的彩色球（无白球）的概率为. 求：

455（1）袋中有多少个红球；

（2）从袋中随机取出3个球，若取得黄球得1分，取得蓝球扣1分，取得红球或白球不得分也不扣分，求得正分的概率。 【解】（Ⅰ）由题设有

Cn?C6?C5C315333?31455.???3′

即Cn3?1，∴n?3，故袋中有3个红球。???6′

（Ⅱ）设取球得正分为事件A，则A包含有三种情况：①取球得正1分，记为事件A1；②取

球得正2分，记为事件A2；③取球得正3分，记为事件A3.???8′ 则P?A??P?A1??P?A2??P?A3?， 而P?A1??

故P?A??1891?891?291?2891C5?C4?C5?C6C1531221?1891；P?A2??C5?C4C15321?891；P?A3??C533C15?291.

.???12′

19.（本小题满分12分）

在数学必修3模块修习测试中，某校有1000名学生参加，从参加考试的学生中抽出60名，将其考试成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，试根据图形提供的信息解答下列问题。

（1）求出这60名学生的考试成绩众数的估计值；

（2）分别求出成绩在?89,99?和?99,109?之间的人数；

（3）若成绩在?89,99?中有2人没及格(90分以及以上为及格)，求成绩在?89,109?之间的所有学生中随机抽取2人，至少有1人没及格的概率。

【解】（Ⅰ）这60名学生的考试成绩众数的估计值为

3

119?1292?124.???4′

（Ⅱ）由图可知,成绩在?89,99?和?99,109?的频率分别为0.05和0.15.

∴在?89,99?上的人数为60?0.05?3名。???6′ 在?99,109?上的人数为60?0.15?9名。???8′

（Ⅲ）由（Ⅱ）知, 成绩在?89,109?之间的学生人数为12人，从中随机抽取2人的抽法有

C12?66种，至少有一人没及格包括有一人或两人都没及格，则有C2?C10?C2?21种抽

2112法。???11′

故所求的概率为P?2166?711.???12′

注：第（Ⅱ）问求得在1000人中?89,99?上的人数为50人，?89,99?上的人数为150人照样给分。

第（Ⅲ）问P?C2?C198?1C220011?39719900照样给分。

20.（本小题满分13分）

某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 y 595 560 男生 x z 605 女生 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.18. (1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生，问应在高三年级抽取学生多少名？ (3)在(2)的前提下，已知y≥345，z≥345，求高三年级中男生比女生多的概率。 【解】（Ⅰ）∵

x3000?0.18，∴x?540.???3′

（Ⅱ）高三年级人数为y?x?3000??595?605?560?540??700，

现用分层抽样的方法在全校抽取120名学生， 应在高三年级抽取的人数为

1203000?700?28名。???7′

（Ⅲ）设高三年级男生比女生多的事件为A，高三年级男生、女生数记为?y,z?．

由（Ⅱ）知y?z?700，且y，x?N，y≥345，z≥345. ???8′ 基本事件空间包含的基本事件有：?345,355?、?346,354?、?347,353?、?348,352?、

?349,351?、?350,350?、?351,349?、?352,348?、?353,347?、?354,346?、?355,345?共11个???10′

事件A包含的基本事件有：?351,349?、?352,348?、?353,347?、?354,346?、

?355,345?共5个。

∴P?A??511???13′

21.（本小题满分14分）

?x??ax2?8bx?1.

（1）设集合M??1,2,3?和N???1,1,2,3,4,5?，从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求函数y?f?x?在区间?2,???上是增函数的概率；

已知关于x的二次函数f

4

?x?y?6≤0?（2）设点?a,b?是区域?x?0内的随机点，求函数y?f?y?0?是增函数的概率。

4b2【解】（Ⅰ）∵函数f?x??ax?8bx?1的图象的对称轴为x?.

a?x?在区间?2,???上

要使f?x??ax?8bx?1在区间?2,???上为增函数，

2当且仅当a?0且

≤2，即2b≤a.???2′ a若a?1，则b??1；若a?2则b??1；若a?3，则b??1.???5′

4b记事件A为“函数y?f?x?在区间上是增函数” 则事件A包含基本事件的个数是1?2?2?5 ∴所求事件A的概率为P?A??518.???7′

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a?0时，函数f?a?b?6≤0? ?a?0?b.0?而构成所求事件的区域为三角形AOB部分， 如图所示。???9′

?x??ax2?8bx?1在区间?2,???上

为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为：

?a?b?6?0?由?解得交点为B?4,2?.???11′ ab???21?6?2S?AOB12∴所求事件的概率为P???.???14′

1S?AOC3?6?62

5