相似三角形 讲义笔记 1份

四、相似三角形的判定

1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．

3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．

5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）

7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．

五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式

证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法

ABBC，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和BC，三个字母A，B，C恰为△ABC?BEBF的顶点；分母的两条线段是BE和BF，三个字母B，E，F恰为△BEF的三个顶点．因此只需证△ABC∽△EBF． 欲证

2．纵向定型法

ABDE，纵向观察，比例式左边的比AB和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；右?BCEF边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF．

欲证

3．中间比法

由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．

比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．

倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．

复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．

六、相似证明中常见辅助线的作法

在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代

换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．

BDAB如图：AD平分?BAC交BC于D，求证：． ?DCAC A证法一：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E．

123∴?1??E，?2??3．

∵?1??2，∴?3??E．∴AC?AE．

BCDBDBABA∵AD∥CE，∴． ??DCBEAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型． A

12证法二；过B作AC的平行线，交AD的延长线于E．

∴?1??2??E，∴AB?BE．

BCDBDBEAB∵BE∥AC，∴． ??DCACAC点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．

EAE七、相似证明中的面积法

面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：

BCHDS如图：△ABCS△ACD1?BC?AHBC2． ??1CD?CD?AH2

BA图1：“山字”型HOGDC如图：

S△ABCS△BCD1?BC?AHAHAO2． ???1DGOD?BC?DG2图2：“田字”型AE

如图：

S△ABDS△ABDS△AEDABADAB?AD?????． S△ACES△AEDS△ACEAEACAE?ACB图3：“燕尾”型AEDFAEEIAD八、相似证明中的基本模型

ACDEFDBBCBCGCBDHGC

ABOABOAEBAFBECDCDCFDCD

AAOBCBCDDEBCEDBCAAEHD

AAEACBDCBCDBDCADB

ADEBCFBGDEADEFBCFBAGDEFACGC