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19.如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,求线段EF的长.
20.如图,已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC且交AC于点D. (1)若∠BAC=30°,求证:AD=BD;
(2)若AP平分∠BAC且交BD于点P,求∠BPA的度数.
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21.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”形道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20 km;BC段与AB,CD段都垂直,长为10 km,CD段长为30 km.求两高速公路间的距离(结果保留根号).
22.(2017泰安模拟)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点. (1)当点P与点Q重合时,如图1,写出QE与QF的数量关系,不证明;
(2)当点P在线段AB上且不与点Q重合时,如图2,(1)中的结论是否成立?并证明; (3)当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,如图3,此时(1)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
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一、选择题 1.D ∵AB∥CD, ∴∠1=∠BAE=48°. ∵CF=EF, ∴∠C=∠E, ∵∠1=∠C+∠E,
∴∠C=1
1
2
∠1=2
×48°=24°.故选D.
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阶段检测四
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2.C ①相似图形不一定是位似图形,位似图形一定是相似图形,故①错误; ②位似图形一定有位似中心,故②正确;
③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形,故③正确;
④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比,故④错误. 故选C.
3.B 根据三角形的判定定理ASA可得选项B可以判定两个三角形全等,故选B. 4.D 把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0, 解得m=6,则原方程为x2-7x+12=0, 解得x1=3,x2=4.
由题意得这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两边长, ①当△ABC的腰长为4,底边长为3时,△ABC的周长为4+4+3=11; ②当△ABC的腰长为3,底边长为4时,△ABC的周长为3+3+4=10. 综上所述,△ABC的周长为10或11. 5.D ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE. ∴①△BCD≌△CBE(ASA); ③△BDA≌△CEA(ASA); ④△BOE≌△COD(AAS或ASA). 故选D.
6.D ∵D,E分别是AB,AC的中点, ∴DE∥BC,DE=BC, 21
∴
????????????1????????????2
===,△ADE∽△ABC,
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∴S△ADE∶S△ABC=()=.
????4
∴选项A,B,C正确,选项D错误. 7.A ∵DE垂直平分AB,∴DA=DB, ∴∠B=∠DAB.∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠DAB.
∵∠C=90°,∴3∠CAD=90°, ∴∠CAD=30°.
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,CD⊥AC, ∴CD=DE=BD. 21
????21
∵BC=3,∴CD=DE=1. 8.A 连接BC'. ∵旋转角∠BAB'=45°,
∴∠BAD'=45°,∴B在对角线AC'上. ∵B'C'=AB'=3,
22∴在Rt△AB'C'中,AC'=√????'+B'C'=3√2,
∴BC'=3√2-3. 在等腰Rt△OBC'中, OB=BC'=3√2-3, OC'=√2×(3√2-3)=6-3√2, ∴OD'=3-OC'=3√2-3, ∴四边形ABOD'的周长为2AD'+OB+OD'=6+3√2-3+3√2-3=6√2.故选A. 9.D 如图,延长CE交AD于点K,交AB于点H.设AD交BE于点O.
∵∠ODB=∠OEA,∠AOE=∠DOB,
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