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普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）
理科数学答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．C 7．D 8．A 9．C 10．B 11．D 12．B 二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(?4,2) 14．[?9,??) 15． 2或6 16． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（Ⅰ）由已知B?25 55?，a2?b2?6ab，结合正弦定理得：4sin2A?26sinA?1?0， 6于是sinA?6?2． 4因为0?A??6，所以sinA?16?2，可得sinA?． 24（Ⅱ）由题意可知S?ABC?132absinC?c，得：2121323absinC?a?b2?2abcosC???4ab?2abcosC?． ?21212???sinC?从而有：3sinC?cosC?2，即???1，
6??又因为
?6?C??6?7??，所以，C?． 6318.（Ⅰ）证明：正三棱柱ADE?BCF中，AB?平面ADE， 所以AB?AD，又AD?AF，ABIAF?A， 所以AD?平面ABFE，AD?平面PAD， 所以平面PAD?平面ABFE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD?平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系A?xyz，设正四棱锥P?ABCD的高为h，AE?AD?2，则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，
uuuruuuruuurP(1,?h,1)，AF?(2,2,0)，AC?(2,0,2)，AP?(1,?h,1)．
ur设平面ACF的一个法向量m?(x1,y1,z1)，
uruuur?ur?m?AF?2x1?2y1?0,则?u取x1?1，则y1?z1??1，所以m?(1,?1,?1)． ruuur??m?AC?2x1?2z1?0,.
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ruuurr??n?AF?2x2?2y2?0,设平面AFP的一个法向量n?(x2,y2,z2)，则?ruuu r??n?AP?x2?hy2?z2?0,r取x2?1，则y2??1，z2??1?h，所以n?(1,?1,?1?h)．
二面角C?AF?P的余弦值是
22， 3urrurrm?n1?1?1?122rr?所以cos?m,n??u，解得h?1． ?23|m|?|n|32?(h?1)19．解：（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)?1?P(A)?1?(0.30?0.15)?0.55． （Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B， P(BA)?P(AB)0.10?0.053??． P(A)0.5511（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量X．
X P 0.85a 0.30 a 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 0.15 平均保费 EX?0.85?0.30?0.15a?1.25a?0.20?1.5a?0.20?1.75a?0.10?2a?0.05
?0.255a?0.15a?0.25a?0.3a?0.175a?0.1a?1.23a， ∴平均保费与基本保费比值为1.23．
20．解：（Ⅰ）由条件知，PF1?PF2，点P在以F1F2为直径的圆上．
所以
2x0?2y02224x0y0y0?4．因此x0?＞＝．…………………………………………4分 ?33332（Ⅱ）由条件知，l1、l2的方程分别为y?k(x?2)、y??(x?2)．
2?2由?3x?y?3，得(3?k2)x2?4k2x?4k2?3?0． ?y?k(x?2)1k由于l1交双曲线的左、右两支分别于A、C两点，
?4k2?3所以xA?xC?＜0，解得k2＜3．……………………………………………………6分 23?k?3x2?y2?3?由?，得(3k2?1)x2?4x?4?3k2?0． 1y??(x?2)?k?由于l2交双曲线的左、右两支分别于D、B两点，
1?4?3k22k所以xB?xD?＜0，解得＞．
33k2?1.
.
因此，
??3??31．………………………………8分 ?3,?U,3?k2?3，k的取值范围是????????3??33??1212?42?4?3k26(1?k2)BD?1?(?)?xB?xD?1?(?)?(2)?4??．
kk3k?13k2?13k2?1118(k2?1)2∴四边形ABCD的面积S?AC?BD???18,???． 222(3?k)(3k?1)所以，四边形ABCD面积的范围?18,???．……………………………………………………12分
21．解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，f??x???∴当x?0时，∴
x， xef??x??0，当x?0时，f??x??0，
f?x?的单调递增区间为???,0?，单调递减区间为?0,???．
（Ⅱ）假设存在x1，x2?则2????x???min?0,1?，使得使得2??x1????x2?成立，
x2??1?t?x?1?，
ex?????x???max?x??0,1?? ．
?x∵??x??xf?x??tf??x??e?x2??1?t?x?t?x?t??x?1?． ??∴???x??exex①当t∴2??1时，在?0,1?上???x??0，??x?在?0,1?上单调递减，
?1????0?，即t?3?e?1. 2②当t?0时，在∴2??0,1?上???x??0，??x?在?0,1?上单调递增，
?0,t?，???x??0，??x?在?0,t?上单调递减；
?0????1?，即t?3?2e?0.
若x?③当0?t?1时，若x??t,1?，???x??0，??x?在?t,1?上单调递增，
所以2?即2??t??max???0?,??1??，
t?1?3?t??max?1,?，（＊） te?e?由（Ⅰ）知，g?t??2?t?1在?0,1?上单调递减， te故
4t?123?t3?2?t?2，而??，所以不等式（＊）无解． eeeee??e?,???．2?.
综上所述，t的取值范围是???,3?2e?U?3?.
?x?3?t22．解：（Ⅰ）曲线C1：? （t为参数），普通方程为x?y?6，极坐标方程为?cos???sin??6；
y?3?t?曲线C2：x2??y?1??1，即x2?y2?2y?0，∴??2sin?；……………………………4分 （Ⅱ）设A??1,??，B??2,??，0???则?1?23? ， 46，?2?2sin?，…………………………………………………………………6分
cos??sin?OB111??????sin??cos??sin????sin2??1?cos2????2sin?2????1?………………8分 OA366?4???当??OB3?1时，取得最大值86OA?2?1．………………………………………………10分
bb?x?， 22?23．解：（Ⅰ）f?x??x?a?2x?b?x?a?x?∵x?a?x?∴f?x??a?∴a?bbb?b???x?a???x???a?且x??0，
222?2?bbb，当x?时取等号，即f?x?的最小值为a?， 222b?1，2a?b?2； 2（Ⅱ）∵a?2b?tab恒成立，∴a?2?2?a??ta?2?a?恒成立， ∴2ta??3?2t?a?4?0恒成立，∴?3?2t??32t?0，
22∴
199?t?，实数t的最大值为． 222.
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