exexex(x?1) 当x?0时，e?kx≥0恒成立，即k?，令g(x)?，g?(x)?
xx2xx 易知g(x)min?g(1)?e
因此k≤e. 故选A.
二、填空题 13．0
14．x－y－1＝0 15．
2π
3
16． [?1,]
1213．【解析】f(x)?xcosx?5sinx为奇函数，故
?a?a(xcosx?5sinx)?0.
14．【解析】由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，
所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.
15．【解析】因为y＝sin x＋3cos x＝2sin?x＋
y＝2sin?x＋
??
π??π?，y＝sin x－3cos x＝2sin?x－?，所以把 ?3?3??
?
?
π?2π?π?的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin?x－?的图象． ?3?3?3?
316．【解析】因为f(?x)??x?2x?1x?e??f(x)，所以函数f(x)是奇函数， xe因为f'(x)?3x2?2?ex?e?x?3x2?2?2ex?e?x?0，所以数f(x)在R上单
2调递增，又f(a?1)?f(2a2)?0，即f(2a2)?f(1?a)，所以2a?1?a，
即2a2?a?1?0，
解得?1?a?11，故实数的取值范围为[?1,]. 22三、解答题 17．【解析】
2（1）?Q：?x0?R，x0?mx0?1?0……………2分
若?Q为真命题，则??m2?4?0,解得：m??2,或m?2 故所求实数m的取值范围为：???,?2???2,???…………（5分） （2）若函数f(x)?log2m?x?1?是增函数，则2m?1,?A??mm???1??（6分） 2?又?x?R,x2?mx?1?0为真命题时，由??m2?4?0
m的取值范围为B??m?2?m?2? …………8分
由“P?Q” 为真命题，“P?Q”为假命题，故命题P、Q中有且仅有一个真 当P真Q假时，实数m的取值范围为：A?CB??1,????????,?2???2,??????2,???…10分
R?????2?1?1??当P假Q真时，实数m的取值范围为：(CRA)?B?????,????2,2????2,?…11分
2?2???综上可知实数m的取值范围：??2,1???2,???……………12分
??2??18．【解析】
（1）证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD＝a，则D(0,0,0)，
?a? A(a,0,0)，B(a,1,0)，C(0,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0，0,1)，E?，1，0?， ?2?
―→―→?a?∴C1D＝(0，－1，－1)，D1E＝?，1，－1?，
?2?―→―→
则C1D·D1E＝0，
∴C1D⊥D1E．……………………………….5分 (注：可采用几何法证明。)
―→?a?―→
（2）设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，AE＝?－，1，0?，AD1＝(－a,0,1)，
?2?
a→
AE·n＝－x＋y＝0，?―
2
则?
→? ―AD·n＝－ax＋z＝0，
1
∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a,2a)，………………..8分
―→?a?―→
设平面B1AE的法向量为m＝(x′，y′，z′)，AE＝?－，1，0?，AB1＝(0,1,1)，
?2?a→
AE·m＝－x′＋y′＝0，?―
2
则?
→? ―AB·m＝y′＋z′＝0，
1
∴平面B1AE的一个法向量为m＝(2，a，－a)．………………..10分 ∵二面角B1-AE-D1的大小为90°， ∴m⊥n，∴m·n＝4＋a－2a＝0，
∵a＞0，∴a＝2，即AD＝2．..............................................12分 19．【解析】
（1）若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c．所以a＝2 c2
c，e＝＝．………………………4分
a2
（2）由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝a－b，设B(x，y)．
2
2
2
2
uuuruuur 由AF2?2F2B，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝
3cb，y＝－， 22
b??3c
即B?，－?．…………………………………………6分
2??292b
c22
44xy
将B点坐标代入2＋2＝1，得2＋2＝1，
abab
9c122
即2＋＝1，解得a＝3c①．………………………….8分
4a4
2
2
uuuruuur3b?3?3c
又由AF1?AB＝(－c，－b)·?，－?＝，
2?2?2
得b－c＝1，即有a－2c＝1②．…………………….10分 由①②解得c＝1，a＝3，从而有b＝2．
xy
所以椭圆的方程为＋＝1．…………………………12分
3220．【解析】
11
（1）T1＝＝；············1分
a1a2a1（a1＋d）
1?1112?1111?1?1
T2＝＋＝?－＋－?×＝?－×＝；·····3分 ?a1a2a2a3?a1a2a2a3?d?a1a1＋2d?da1（a1＋2d）1?1111?111111?1?13T3＝＋＋＝?－＋－＋－?×＝?－×＝.···5分 ?a1a2a2a3a3a4?a1a2a2a3a3a4?d?a1a1＋3d?da1（a1＋3d）n由此可猜想Tn＝.············6分
a1（a1＋nd）（2）证明：①当n＝1时，T1＝
*2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
，结论成立．·········7分
a1（a1＋d）
②假设当n＝k时(k∈N)时结论成立， k
即Tk＝.·········8分
a1（a1＋kd） 则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋
1k1
＝＋＝ak＋1ak＋2a1（a1＋kd）（a1＋kd）[a1＋（k＋1）d]
（k＋1）（a1＋kd）k＋1
＝. a1（a1＋kd）[a1＋（k＋1）d]a1[a1＋（k＋1）d]
即n＝k＋1时，结论成立．·····················11分
n*
由①②可知，Tn＝对于一切n∈N恒成立．····················12
a1（a1＋nd）分
21．【解析】
11（1）f'(x)?lnx?1，当x?(0,)，f'(x)?0，f(x)单调递减，当x?(,??)，f'(x)?0，
eef(x)单调递增．············ 2分
①0?t?t?2?
1e1，t无解； e1e1e1e②0?t??t?2，即0?t?时，f(x)min?f()??；········· 3分 ③?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]上单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt····4分
1?1?， 0?t???ee．········· 5分 ???tlnt，t?1?e?1e1e
所以f(x)min3（2）2xlnx??x2?ax?3，则a?2lnx?x?，········· 6分
x(x?3)(x?1)3设h(x)?2lnx?x?(x?0)，则h'(x)?，········· 7分 2xxx?(0,1)，h'(x)?0，h(x)单调递增，x?(1,??)，h'(x)?0，········· 8分
h(x)单调递减，所以h(x)min?h(1)?4，因为对一切x?(0,??)，2f(x)?g(x)恒成立，
所以a?h(x)min?4；·················· 9分
2?(x?(0,??))， exex（3）问题等价于证明xlnx?11由⑴可知f(x)?xlnx(x?(0,??))的最小值是?，当且仅当x?时取到，
ee设m(x)?xex?1?x21(x?(0,??))，则m'(x)?，易得，当且仅当x?1时取到，从而对一切m(x)?m(1)??maxxeee1ex?2成立．························12分 exx?(0,??)，都有lnx?22．【解析】
（1）将参数方程转化为一般方程
l1:y?k?x?2? ……①
l2:y?1?x?2? ……② k2222①?②消k可得：x?y?4 即P的轨迹方程为x?y?4；··············5分
（2）将参数方程转化为一般方程
l3:x?y?2?0 ……③
?32x?????x?y?2?02联立曲线C和l3?2解得 ?22???x?y?4y????2?x??cos?由?y??sin?解得??5.即M的极半径是5．···············10分 ?23．【解析】
2（1）当a?1时，f?x???x?x?4，是开口向下，对称轴x?1的二次函数． 2?2x，x?1?g?x??x?1?x?1??2，?1≤x≤1，
??2x，x??1?当x?(1,??)时，令?x2?x?4?2x，解得x?17?1 2???上单调递增，f?x?在?1，???上单调递减 g?x?在?1，?17?1?1，∴此时f?x?≥g?x?解集为??． ?2??1?时，g?x??2，f?x?≥f??1??2． 当x???1，当x????，?1?时，g?x?单调递减，f?x?单调递增，且g??1??f??1??2．
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