【例3】 已知首项为3的数列{an}满足an＋1＝则an＝________。
3an
(n∈N*)，3＋an
3an
对an＋1＝(n∈N*)两边取倒数，再利用等差数列的定义，
3＋an
即可求出数列{an}的通项公式。
3an
【解析】 因为an＋1＝(n∈N*)，易知an≠0(n
3＋an
1111
∈N)，所以－a＝3，因为a1＝3，所以a＝3，所以数
n1an＋1
*
1
?1?11111
??列a是首项为3，公差为3的等差数列，所以a＝3＋(n－1)×3＝?n?n
n33，所以an＝n。
3
【答案】 n
提分攻略五 构建模型搞定空间几何体的外接球问题 类型一 墙角模型(三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2，求出R。
【例1】 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是________。
【解析】 设三棱锥外接球的半径为R，由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c(a，b，c均为正实数)，ab＝12，??
则?bc＝8，所以abc＝24，所以a＝3，b＝4，c＝2，(2R)2＝??ac＝6，
a2＋b2＋c2＝29，S＝4πR2＝29π。
【答案】 29π
【例2】 在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是________。
【解析】 如图1，取AB，BC的中点D，E，连接AE，CD，AE与CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，所以SH⊥平面ABC，所以SH⊥AB，因为AC＝BC，AD＝BD，所以CD⊥AB，所以AB⊥平面SCD，所以AB⊥SC，同理：BC⊥SA，AC⊥SB，即正三棱锥的对棱互相垂直。本题图如图2，因为AM⊥MN，SB∥MN，所以AM⊥SB，因为AC⊥SB，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，因为SB⊥SA，BC⊥SA，所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SC，故三棱锥S－ABC的三条侧棱两两互相垂直，设三棱锥S－ABC外接球的半径为R，所以(2R)2＝(23)2＋(23)2＋(23)2＝36，即4R2＝36，所以正三棱锥S－ABC外接球的表面积是36π。
【答案】 36π
类型二 对棱相等模型(补形为长方体)
方法：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外
接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 笫二步：设出长方体的长宽高分别为a，b，c，AD＝BC＝x，a＋b＝x，??222
AB＝CD＝y，AC＝BD＝z，列方程组?b＋c＝y，?(2R)2＝
??c2＋a2＝z2
222
x＋y＋z
a2＋b2＋c2＝； 2
2
2
2
第三步：根据墙角模型，2R＝a2＋b2＋c2＝R＝
x2＋y2＋z2
，求出R。 8
x2＋y2＋z2
，2
【例3】 在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥A－BCD外接球的表面积为________。
【解析】 如图，补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a，b，c，则a2＋b2＝9，b2＋c2＝4，c229
＋a＝16，所以2(a＋b＋c)＝9＋4＋16＝29，a＋b＋c＝2，2
2
2
2
2
2
2
29294R2＝2，S＝2π。
相关推荐：
loading