2019年
∴sin C＝1，又C∈(0，π)，
∴C＝，
∴B＝π－－＝.
2．△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin
[典题3]
C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
答案：
5π6
解析：∵m∥n，
∴(a＋b)(sin B－sin A)－(a＋c)sin C＝0，
又∵＝＝，
化简，得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cos B＝＝－. ∵0 考点3 向量在解析几何中的应用 C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任意一条直径，求·的最值． [解] (1)设P(x，y)，则Q(8，y)． 由·＝0，得 ||2－||2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0， 化简得＋＝1. 所以点P在椭圆上，其方程为＋＝1. (2)因为·＝(－)·(－) ＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1， P是椭圆＋＝1上的任意一点，已知平面上一定点 2019年 设P(x0，y0)，则有＋＝1，即x＝16－， 又N(0,1)，所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17＝－(y0＋3)2＋20. 因为y0∈[－2，2 ]， 所以当y0＝－3时，2取得最大值20， 故·的最大值为19； 当y0＝2时，2取得最小值为13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4. [点石成金] 向量在解析几何中的作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从 而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0；a∥b?a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题．特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一 种比较可行的方法. 如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点．记＝e1， ＝e2，任取双曲线C上的点P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，则ab＝( ) B．1 D.8 1 A. C. 答案：A 解析：由题意易知，E1(2,1)，E2(2，－1)， ∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)， 故＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)． 又点P在双曲线上， ∴－(a－b)2＝1， 整理可得，4ab＝1，∴ab＝. [方法技巧] 1.用向量解决问题时，应注意数形结合思想和转化与化归思想的 应用．一般是先画出向量示意图，把问题转化为向量问题解决． 2019年 2．牢记以下4个结论 (1)重心：若点G是△ABC的重心，则＋＋＝0或＝(＋＋)(其中P为平面内任意 一点)；反之，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心． (2)垂心：若点H是△ABC的垂心，则·＝·＝·或2＋2＝2＋2＝2＋2；反 之，·＝·＝·，则点H是△ABC的垂心． (3)内心：若点I是△ABC的内心，则有||·＋||·＋||·＝0；反之，若||·＋ ||·＋||·＝0，则点I是△ABC的内心． (4)外心：若点O是△ABC的外心，则(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0或||＝||＝||； 反之，若||＝||＝||，则点O是△ABC的外心． [易错防范] 1.对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关 系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等． 2．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价． 3．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a，b夹角为锐角和a·b＞0不等 价． 4．利用向量解决解析几何中的平行与垂直，可有效解决因斜率不存在使问题漏 解的情况． 真题演练集训 1．[2016·四川卷]在平面内，定点A，B，C，D满足||＝||＝||，·＝·＝·＝ －2，动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是( ) B.4 D. 37＋233 4 49 A. C. 答案：B 解析：由||＝||＝||知，D为△ABC的外心． 由·＝·＝·知，D为△ABC的内心，所以△ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EM＝AP＝，所以||max＝|BE|＋＝，则|| 2019年 ＝，故选B. 2．[2015·福建卷]已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且 ＝＋，则·的最大值等于( ) B．15 D．21 A．13 C．19 答案：A 解析：∵ ⊥，故以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不 妨设B，C(t,0)，则＝＋＝(4,1)， 故点P的坐标为(4,1)． → ·＝·(t－4，－1)＝－4t－＋17PB ＝－＋17≤－2＋17＝13. 当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13. 3．[2015·天津卷]在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝ 60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________． 答案：18 29 解析：在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得AD ＝DC＝1. 建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0,0)，B(2,0)，C，D， → ＝－(2,0)＝，BC → ＝－＝(1,0)．DC ∵ ＝λ＝， ∴ E. ∵ ＝＝，∴ F.
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