5-5-3.同余问题
教学目标
1. 学习同余的性质
2. 利用整除性质判别余数
知识点拨
同余定理
1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。
2、重要性质及推论：
（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
例如：17与11除以3的余数都是2，所以能被3整除． （17?11）（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法
当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．
⑴ 整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；
⑸ 整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；
⑹ 整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与
偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．
例题精讲
模块一、两个数的同余问题
【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 (法1) 39?3?36，51-3=48，147?3?144，(36,144)?12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3
要小于除数，这个数是4,6,12；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意
两数差的公约数．51?39?12，147?39?108，(12,108)?12，所以这个数是4,6,12．
【答案】4,6,12
【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】人大附中，分班考试 【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、
4、5]+1=60+1=61。
【答案】61
【例 3】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所
求的数为(543?345)?33?6． 【答案】6
【例 4】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，
则这个自然数是多少？
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90?164?254后所得的余数，
所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254?220?34的约数，又大于10，这个自然数只能是17或者是34．
如果这个数是34，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么它去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17．
【答案】17
【例 5】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a?b，求ab?ba． 【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答
ab?ba能被7整除，【解析】 即(10a?b)?能被7整除．所以只能有a?b?7，那么ab可（10b?a)?9?（a?b）能为92和81，验算可得当ab?92时，ba?29 满足题目要求，ab?ba?92?29?2668
【答案】2668
【例 6】 现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样
多的饼干,也分得一样多的桔子。余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：1：3：2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。
【考点】两个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】南京市，兴趣杯 【解析】 设大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、饼干和桔子的数量之比是1:3:2，所以余下的糖果、桔子
数目的和正好等于余下的饼干数，从而254+186-210一定是a的倍数，即254+186-210=230=1×230=10×23=2×5×23是a的倍数。同样，2×254-186=322=23×14=23×14=23×2×7也一定是a的倍数。所以，a只能是23×2的因数。但a﹥40,所以a=46。此时254=46×5+24，210=46×3+72，186=46×3+48。故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个。
【答案】小朋友46名，每人分得糖果5粒，饼干3块，桔子3个
模块二、三个数的同余问题
【例 7】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数. 【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同
余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．所以这个数可能为2,7,14。 (56,14)?14，101?45?56，59?45?14，14的约数有1,2,7,14，
【答案】2,7,14
【巩固】 有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。问这个整数是几? 【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】 这个数除300、262，得到相同的余数，所以这个数整除300－262＝38，同理，这个数整除262－205
＝57，因此，它是38、57的公约数19。
【答案】19
【巩固】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________． 【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 因为13903?13511?392, 14589?13903?686，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余
数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．(392,686)?98，所以所求的最大整数是98. 【答案】98
【巩固】 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 . 【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】三帆中学，入学测试 【解析】 这样我们用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是293-225=68的约数,又是
225-140=85的约数，因此就是68、85的公约数,所以这个自然数是17。所以2002除以17余13。
【答案】13
【巩固】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。 【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第4题，6分 【解析】 （28，21）=7，所以这个除数是7。 51?23?28，72?51?21，【答案】7
【例 8】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为118?67?51和67?33?34 的公约数，所求答案为17． 【答案】17
【例 9】 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数
和余数的和为_______．
【考点】三个数的同余问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】 设除数为A．因为2836，4582，5164，6522除以A的余数相同，所以他们两两之差必能被A整除．又
因为余数是两位数，所以A至少是两位数．4582-2836=1746，5164?4582?582，6522?5164?1358，因为(582,1358)?194，所以A是194的大于10的约数．194的大于10的约数只有97和194．如果
A?194，2386?194?14120，余数不是两位数，与题意不符．如果A?97，经检验，余数都是23，除数?余数?97?23?120．
【答案】120
【例 10】 一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，a?2，a?5，则这个自然数是多少？ 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数（都为a）．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0．那么这个自然数是290?233?57的约数，又是233?195?38的约数，因此就是57和38的公约数,因为57和38
的公约数只有19和1，而这个数大于1，所以这个自然数是19．
【答案】19
【巩固】 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这
个自然数是_____.
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试 【解析】 处理成余数相同的，则888、518-7、666-10的余数相同，这样我们可以转化成同余问题。这样我们
用总结的知识点可知：任意两数的差肯定余0。那么这个自然数是888-656=232的约数，也是656-511=145的约数，因此就是232、145的公约数,所以这个自然数是29。
【答案】29
【例 11】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a?5、2a、a，求这个自然数和a的值. 【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：?429?5??2?848，791、500?2?1000，这样这
些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848?791?57、1000?848?152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而?57,152??19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，
当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a?6时成立,所以这个自然数是19，a?6.
【答案】6
【例 12】 甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除
乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
【考点】三个数的同余问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：
603?A?K1r1 ，939?A?K2r2，393?A?K3r3由于r1?2r2，r2?2r3，要消去余数r1,
r2, r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除
数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．于是我们可以得到下面的式子：603?A?K1r1
?939?2??A?2K22r2 ?393?4??A?2K34r3这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去
余数，意味着能被A整除．939?2?603?1275，393?4?603?969，?1275,969??51?3?17．51
的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17满足，所以A等于17．
【答案】17
【例 13】 已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是a?1，a2，a3?1，求该自然数的值． 【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，自然数61，154，201被该数除所得余数分别是a，a2，a3．
由于a2?a?a，所以自然数612?3721与154同余；由于a3?a?a2，所以61?154?9394与201同余，
所以除数是3721?154?3567和9394?201?9193的公约数，运用辗转相除法可得到(3567,9193)?29，该除数为29．经检验成立．
【答案】29
【例 14】 有一个自然数，它除以15、17、19所得到的商(＞1)与余数(＞0)之和都相等，这样的数最小可能
是多少．
【考点】三个数的同余问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】
?A?15a?（X?a）?14a?X?A?15?a......X（a?X?a）??A?17b?（X?b）?16b?X ?A?17?b......X（b?X?b）?A?19?c......X（?X?c）?A?19c?（X?c）?18c?Xc?14a?16b?18c?72|a?a至少为72，A?15a?Xa?15?72?Xa?1080?Xa
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