专题三 立体几何
高频考点·真题回访
1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为 ( )
A.2
B.2
C.3
D.2
【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN=
=2
.
2.(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为 ( ) A.8
B.6
C.8
D.8
【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,
因为AB⊥平面BB1C1C,AC1与平面BB1C1C所成角为30°,所以∠AC1B=30°,
所以=tan 30°,BC1=2,所以CC1=2,所以V=2×2×2=8.
3.(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为 ( )
1
A. B. C. D. 【解题指南】本题考查了异面直线所成的角的概念以及求解运算能力. 【解析】选C.因为CD∥AB,所以∠EAB即为异面直线AE与CD所成角,连接BE,在直角三角形
ABE中,设AB=a,则BE=a,所以tan∠EAB==.
4.(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( )
【解题指南】本题考查几何体的三视图,考查空间想象能力,体现了直观想象的核心素养.试题难度:易.
【解析】选A.由直观图可知选A.
5.(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9A.12
,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 B.18
C.24
( ) D.54
【解题指南】本题考查三棱锥的体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解
能力,体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:中.
【解析】选B.设△ABC的边长为a,则S△ABC=asin C=
2
a=9
2
,解得a=6,
如图所示,当点D在底面上的射影为三角形ABC的中心H时,三棱锥D-ABC的体积最大,设球
心为O,则在直角三角形AHO中,AH=××6=2,OA=R=4,则
2
OH===2,所以DH=2+4=6,所以三棱锥D-ABC的体积最大值
为V=S△ABC×DH=×9×6=18.
6.(2018·天津高考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为____________.
【解析】连接A1C1,交B1D1于O1点,依题意得A1O1⊥平面BB1D1D,即A1O1为四棱锥A1-BB1D1D的
高,且A1O1=,而四棱锥A1-BB1D1D的底面为矩形,其面积为,所以四棱锥A1-BB1D1D的体
积V=Sh=××=.
答案:
【方法技巧】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 7.(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°,若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为____________.
【解题指南】本题考查空间几何体的体积公式的运用,同时考查了线线角和线面角的有关知识.
【解析】设底面圆的半径为r,底面圆心为O,因为SA与圆锥底面所成角为30°,所以
SA=,SO=r,
又直角△SAB的面积为8,所以=8,解得r=2.
所以V=πr·SO=π(2
2
)·
2
·2=8π.
3
答案:8π 8.(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积. 【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC. 又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD. 又AB?平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3
.
又BP=DQ=DA,所以BP=2.
作QE⊥AC,垂足为E,则QEDC=1.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,
因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×29.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2
sin 45°=1.
,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC.
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
【解题指南】本题考查立体几何中的线面垂直关系的判定以及线面间的距离的求法,意在考
4
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