查学生的数学运算及逻辑推理能力.
【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点, 所以OP⊥AC,且OP=2
.
连接OB.因为AB=BC=AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2. 由OP+OB=PB知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知PO⊥平面ABC.
2
2
2
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,OP∩OM=O,所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.
所以OM=,CH==.
所以点C到平面POM的距离为.
10.(2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧的点.
所在平面垂直,M是上异于C,D
(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.
(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由. 【解题指南】考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理、直观想象的数学素养.
【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD. 因为BC⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
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因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以DM⊥CM.
又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)存在,AM的中点即为符合题意的点P.证明如下: 取AM的中点P,连接AC,BD交于点N,连接PN.
因为ABCD是矩形, 所以N是AC的中点,
在△ACM中,点P,N分别是AM,AC的中点, 所以PN∥MC,
又因为PN?平面PBD,MC?平面PBD, 所以MC∥平面PBD,
所以,在线段AM上存在点P,即AM的中点,使得MC∥平面PBD. 【误区警示】注意(2)问中,证明线面平行不要忽略MC?平面PBD.
11.(2018·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC.
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD. (3)求证:EF∥平面PCD.
【解题指南】考查空间中直线与平面的位置关系的判定,意在考查空间想象能力,逻辑推理能力,培养学生的空间想象能力与逻辑推理能力,体现了逻辑推理,直观想象的数学素养. 【证明】(1)在△PAD中,PA=PD,E是AD的中点, 所以PE⊥AD,
又底面ABCD为矩形,所以AD∥BC,所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形,所以AD⊥CD,
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD?平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,又PA?平面PAD, 所以CD⊥PA,
又因为PA⊥PD,CD,PD?平面PCD,CD∩PD=D, 所以PA⊥平面PCD,又PA?平面PAB, 所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)取PC的中点G,连接DG,FG,
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因为底面ABCD为矩形,所以AD
BC,又E是AD的中点,
所以DEBC,
在△PBC中,F,G分别是PB,PC的中点,
所以FGBC,
所以DE
FG,四边形DEFG是平行四边形,
所以EF∥DG,
又因为EF?平面PCD,DG?平面PCD, 所以EF∥平面PCD.
【误区警示】注意(3)问中,证明线面平行不要忽略EF?平面PCD.
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