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1＋4－3
而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.
－1综上知－6≤a≤－2.
7．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________． 答案 4
解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
31
当x>0时，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥2－3.
xx31
即g(x)＝2－3，
xx3?1－2x?
则g′(x)＝，
x4
11
所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
221
因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4.
2
31
当x<0时，即x∈[－1,0)时，同理a≤2－3. xxg(x)在区间[－1,0)上单调递增， 所以g(x)min＝g(－1)＝4， 从而a≤4，综上可知a＝4.
8．(2014·江苏)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________． 答案 (－解析
2
，0) 2
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??f?m?<0，
作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，则有?
??f?m＋1?<0，
22??m＋m－1<0，2
即?解得－ 2 ???m＋1?2＋m?m＋1?－1<0， 9．已知函数f(x)＝x－ 1 ，g(x)＝x2－2ax＋4，若对于任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使x＋1 f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________． 9?答案 ??4，＋∞? 1 解析 由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝ ?x＋1?2x f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥ 25x5＋能成立，令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)2x22xx599＝＋在x∈[1,2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥. 22x4410．(2014·浙江)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)． (1)若f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)； (2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1,1]恒成立，求3a＋b的取值范围． 3??x＋3x－3a，x≥a，解 (1)因为f(x)＝? 3－3x＋3a，x www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 10 - 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 2??3x＋3，x≥a， 所以f′(x)＝?由于－1≤x≤1. 2－3，x ①当a≤－1时，有x≥a，故f(x)＝x3＋3x－3a. 此时f(x)在(－1,1)上是增函数， 因此，M(a)＝f(1)＝4－3a，m(a)＝f(－1)＝－4－3a， 故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8. ②当－1 若x∈(a,1)，f(x)＝x3＋3x－3a，在(a,1)上是增函数； 若x∈(－1，a)，f(x)＝x3－3x＋3a，在(－1，a)上是减函数， 所以，M(a)＝max{f(1)，f(－1)}，m(a)＝f(a)＝a3. 由于f(1)－f(－1)＝－6a＋2，因此 1 当－1 31 当 因此，M(a)＝f(－1)＝2＋3a，m(a)＝f(1)＝－2＋3a， 故M(a)－m(a)＝(2＋3a)－(－2＋3a)＝4. ? ?－a－3a＋4，－1 3 综上可知，M(a)－m(a)＝?1 －a＋3a＋2， 3 ??4，a≥1. 33 8，a≤－1， (2)令h(x)＝f(x)＋b，则 32???x＋3x－3a＋b，x≥a，?3x＋3，x≥a， h(x)＝?h′(x)＝? 32?x－3x＋3a＋b，x 因为[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1,1]恒成立， www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 11 - 高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 即－2≤h(x)≤2对x∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知， ①当a≤－1时，h(x)在(－1,1)上是增函数， h(x)在[－1,1]上的最大值是h(1)＝4－3a＋b， 最小值是h(－1)＝－4－3a＋b， 则－4－3a＋b≥－2且4－3a＋b≤2，矛盾； 1 ②当－1 3最大值是h(1)＝4－3a＋b， 所以a3＋b≥－2且4－3a＋b≤2， 1 从而－2－a3＋3a≤3a＋b≤6a－2且0≤a≤. 3令t(a)＝－2－a3＋3a， 1 0，?上是增函数， 则t′(a)＝3－3a2>0，t(a)在??3?故t(a)≥t(0)＝－2， 因此－2≤3a＋b≤0. 1 ③当 3h(a)＝a3＋b，最大值是h(－1)＝3a＋b＋2， 所以a3＋b≥－2且3a＋b＋2≤2， 28 解得－<3a＋b≤0. 27 ④当a≥1时，h(x)在[－1,1]上的最大值是 h(－1)＝2＋3a＋b， 最小值是h(1)＝－2＋3a＋b， 所以3a＋b＋2≤2且3a＋b－2≥－2，解得3a＋b＝0. 综上，得3a＋b的取值范围是－2≤3a＋b≤0. 11．已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； www.ks5u.com 版权所有@高考资源网 - 12 -
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