正态分布习题与详解(非常有用-必考点)

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1.若x～N(0,1),求(l)P(-2.322). 解：(1)P(-2.32

=?(1.2)-[1-?(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.

(2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-?(2)=l-0.9772=0.0228. 王新敞奎屯新疆2利用标准正态分布表，求标准正态总体 (1)在N(1,4)下，求F(3) （2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）F(3)＝?(3?1)＝Φ（1）＝0.8413 2?????（２）Ｆ（μ＋σ）＝?()＝Φ（1）＝0.8413 ?Ｆ（μ－σ）＝?(?????)＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 ?Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12?，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率[Φ（0.2）=0.5793,Φ（1.2）=0.8848] 解：正态分布的概率密度函数是f(x)?明μ＝0，f(x)的最大值为f(?)＝布 12??e?(x??)22?2,x?(??,??)，它是偶函数，说12??，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分4.某县农民年平均收入服从?=500元，?=200元的正态分布（1）求此县农民年平均

收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（??a,??a）内的概率不少于0.95，则a至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398,Φ（1.96）=0.975] 解：设?表示此县农民年平均收入，则?~N(500,2002) 精心整理

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520?500500?500)??()??(0.1)??(0)?0.5398?0.5?0.0398200200aaaP(??a?????a)??()??(?)?2?()?1?0.95，

200200200a查表知：?1.96?a?392 200P(500???520)??(（2）∵

1设随机变量X~N(3,1),若P(X?4)?p,,则P(2

(A)?p(B)l—p

【答案】C12C．l-2p D．?p

12因为P(X?4)?P(X?2)?p,所以P(2

C．

2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

A．100 B．200 C．300 D．400[答案] B [解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B. 3．设随机变量ξ的分布列如下： ξ P －1 a 0 b 1 c 其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则D(ξ)＝( ) A.B．－C.D. [答案] D [解析] 由条件a，b，c成等差数列知，2b＝a＋c，由分布列的性质知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝，解得a＝，b＝，c＝，∴D(ξ)＝×2＋2＋2＝. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为( )A．3B．4C．5D．2

[答案] A

[解析] 设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P(ξ＝0)＝＝， 精心整理

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P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝， ∴0×＋1×＋2×＝， ∴x＝3.

5．小明每次射击的命中率都为p，他连续射击n次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p(ξ>1)＝( )

A.B.C.D. [答案] C [解析] 由条件知ξ～B(n，P)， ∵，∴， 解之得，p＝，n＝8， ∴P(ξ＝0)＝C80×0×8＝8， P(ξ＝1)＝C81×1×7＝5， ∴P(ξ>1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1) ＝1－8－5＝. 5已知三个正态分布密度函数φi(x)＝e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则( ) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从精心整理

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而可知σ1＝σ2<σ3.

6①命题“?x?R,cosx?0”的否定是:“?x?R,cosx?0”; ②若lga?lgb?lg(a?b),则a?b的最大值为4;

③定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x),则f(6)的值为0;

④已知随机变量?服从正态分布N(1,?2),P(??5)?0.81,则P(???3)?0.19;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上). 【答案】①③④①命题“?x?R,cosx?0”的否定是:“?x?R,cosx?0”;所以①正确. ②若lga?lgb?lg(a?b),则lgab?lg(a?b),即ab?a?b,a?0,b?0.所以

ab?a?b?(a?b2),即(a?b)2?4(a?b),解得a?b?4,则a?b的最小值为4;所以②错2误.③定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x),则f(x?4)?f(x),且f(0)?0,即函数的周期是4.所以f(6)?f(2)??f(0)?0;所以③正确. ④已知随机变量?服从正态分布N(1,?2),P(??5)?0.81,则

P(??5)?1?P(??5)?1?0.81?0.19,所以P(???3)?P(??5)?0.19;所以④正确,所

以真命题的序号是①③④. 7、在区间[?1,1]上任取两数m和n,则关于x的方程x2?mx?n2?0有两不相等实根的概率为___________. 【答案】1由题意知?1?m?1,?1?n?1.要使方程x2?mx?n2?0有两不相等实根,则4?=m2?4n2?0,即(m?2n)(m?2n)?0.作出对应的可行域,如图直线m?2n?0,

111111m?2n?0,当m?1时,nC?,nB??,所以S?OBC??1?[?(?)]?,所以方程

22222212?2S2?1. x2?mx?n2?0有两不相等实根的概率为?OBC?2?2448、下列命题: 精心整理

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` (1)?1dx??21x1x221?3; 4(2)不等式|x?1|?|x?3|?a恒成立,则a?4;

(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则P(X?0)?P(X?2);

(4)已知a,b?R?,2a?b?1,则??8.其中正确命题的序号为____________.

【答案】(2)(3)(1)

2a1b?211dx?lnxx21?ln2,所以(1)错误.(2)不等式|x?1|?|x?3|的最小

值为4,所以要使不等式|x?1|?|x?3|?a成立,则a?4,所以(2)正确.(3)正确.(4)

21212b2a2b2a??(?)(2a?b)?4?1???5?2??9,所以(4)错误,所以正确的为abababab(2)(3). 2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为 A．26 【答案】（ ）

B．25 DC．23 D．18 23,所以样本方差为

D． 样本的平均数为1[(19?23)2?(20?23)2?(22?23)2?(23?23)2?(31?23)2]?18,选 53有一个容量为200的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在?8,10?内的频数为 精心整理