证明 1) 因为x*有n位有效数字，则有
x*?x?0.5?10m?n 于是
e?x0.5?10m?nr?x*??x*x*?0.a1a2?ak?10m?0.5?10?n?1?1?n
0.aa10121
37
2) 由
x*?xx*11?n??10 2?a1?1?有
m0.aa?a?101kx*?x?x*??101?n?12?101?n2?a1?1?2?a1?1?a1.a2?ak??10m?n2?a1?1?a1.a2?ak?a1?1?1?10m?n2
证毕。
利用定理1.3可以解决一些涉及有效数字和误差关系的问题。
38
例 1.6 为保证某算式的计算精度，要求参与计算的323的近似值x*的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。
解 先将323写成浮点数。 因为
2?323?3
所以
323?2.a2a3??0.2a2a3??101得到a1=2。
39
假设x*至少要取n位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的（1.5）式，选择满足
111?n1?n?10??10?0.1% 2a12?2的最小整数n即可。由
1?101?n?0.1% 2?24?n10?4，有n?4，故x*至少要取4位得
有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要求。
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