可以证明：果十进制准确数x经过四舍五入得到近似数x*，则x*的有效数字位为将x*写为规格化浮点数后的尾数的位数。
例如x ＝0.00345, 四舍五入得
-2
x*＝0.0035＝0.35?10
可知x*有2位有效数字。
有效数字越多，绝对误差和相对误差就越小，因此近似数就越准确！
这是科学计算中要尽可能多保留有效数字的原因。
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例1.4 求圆周率??3.1415926??? 的近似值x1?3.14和x2?3.141的有效数字。
11x?0.314?10x?0.3141?10,m?1，由 解:1，2??x1?0.015926????10?0.15926????0.5?10?2?2有m-n = -2，得n =3 ，x1有3位有效数字； 再由
??x2?0.0005926????10?3?0.5926????0.5?10?2，
有m-n =-2，得n=3 ，x2有3位有效数字。
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例 1.5 已知近似数x*有5位有效数字，试求其相对误差限。
解 因为x*有5位有效数字，可以设
*mx??0.a1a2???a5?10,a1?1
于是有n=5和
x*?x?0.5?10m?5
考虑x*的相对误差
x*?xx*0.5?10m?55?10?51?41?4????10??100.a1a2?a5?10ma12a12 -4
故有x*相对误差限为0.5?10 。
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? 有效数字与相对误差的关系 定理1.3设近似数
x*??0.a1a2???ak?10m，a1?0,al??0,1,???,9? m为整数，n? k有
1) 若x*有n位有效数字，则有
e?xr?x*??x*x*?1a?101?n2(1.5)1，
2) 若x*的相对误差
e*x*?xr?x??x*?11??101?n2?a(1.6)1? 则x*有n位有效数字。
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