②考虑材料是初始各向同性的，因此坐标变换对屈服没有影响。如果应力点(?1, ?2, ?3)是屈服面上一点，则(?1, ?3, ?2)也必是屈服面上一点。因此，?1保持不变，轨迹C必然和直线LL ?对称。同理屈服轨迹必和MM ? 及NN?对称。 **如以纸面为?平面，三个主应力轴?1, ?2, ?3在?平面上投影为?1?,?2?, 3?? ，则屈服轨迹C具有如下性质： 屈服轨迹的特性
③考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点(?1, ?2, ?3)在屈服面上，则应力点(- ?1,- ?2,- ?3)亦必在屈服面上。因此通过O点作一直线，其两端与曲线C的交点一定与点O对称。联系性质2 则屈服轨迹必和LL ?， MM ?， NN?的垂直线AB，CD，EF对称。这样，屈服轨迹就有6个对称轴，曲线C由12个相同的弧段组成。因此进行屈服条件的实验研究中，只要确定一个弧段，即30o范围的图形即可。 屈服轨迹的特性
***讨论：屈服曲线在平面内的重要性质：
①屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点一定被包围在曲线之内。从物理概念上理解：坐标原点是一个无应力状态，材料当然不能在无应力下屈服，所以屈服曲线不可能通过原点。又由于在初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线一定是封闭的，否则将出现不屈服的状态，这是不可能的。
②屈服曲线与任一坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。材料在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与此应力状态形态一致的另一应力状态达到屈服，即初始屈服只有一次。
③屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。由于应力偏量对?1, ?2, ?3的对称性和不计包辛格效应，因此对?1, ?2, ?3轴的两侧及其正负方向均为对称，所以屈服曲线必在12个30o的扇形区域内有相同的形状。
④屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。 (４).讨论：屈服面的外凸性. <ⅰ>材料稳定性假设： (a)稳定的材料： (b)不稳定的材料： d?<0, d?>0 d?>0, d?<0
应力增量做功d?d?<0,称之为不稳定的。 应力增量d?>0，将产生应变增量d?>0 d?在d?上做功 d?d?>0
具有这种特性的材料称为稳定的材料。 (c)稳定性假设：
对稳定的材料，以下关系式成立： d?ijd?ij>0 讨论：
① d?ijd?ij>0表示在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。 ② 表示在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功恒为非负。
③以上关于材料稳定性的论断，称为稳定性假说，或称为卓柯(Drucker,D.C)假设。 及 ?ij*：物体各点的弹性应力状态 ?ij ：应力状态(增加的、现有的)
(a) 单向拉伸时强化点是随着塑性变形历史而改变，在复杂应力状态下，加载面也随着塑性变形历史而改变。
即当初始屈服以后，应力继续增加时，屈服面将随着应力变化过程按一定规律变化，形成一系列屈服面，这些屈服面称为继生屈服面。 物体某处的应力状态为?ij*，相应于应力空间的A点，再加载，应力点的位移轨迹为A?B?C，卸载C?A。
(b)加载卸载循环中所做的功： 总应变增加量d?ij ：
其中 d?ije 为弹性应变增量，它是可恢复的；
d?ijp 为塑性应变增量，它是不可恢复的。 在图示ABCA循环中， ?ij 为任一屈服状态(B点) ?ij*为任一弹性应力状态(A点)
在加载卸载过程中，在弹性范围内，应力增量(?ij*-?ij*)对d?ije 所做的功为零（因弹性应变能恢复）。
稳定性假设的第二条可写成
其中，AB段为弹性加载过程，CA段为卸载过程（按弹性规律），BC段产生塑性应变增量d?ijp
上述回路积分可改写成：
*在应力循环中(ABCA)，塑性变形分析：
在此ABCA循环中，塑性变形是一个无穷小量，即 是 一个无穷小量，而 也是一个无穷小量。当 BC?0，近似得
或 称为局部最大原理。
对理想塑性材料，当应力点位于屈服面上时，则只可能有 <ⅲ>证明：屈服面必为凸曲面。 4－7、常用屈服条件：
对屈服条件的研究已有两个世纪。所谓屈服条件，就是材料进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。
经过200多年的研究，经过许多试验验证，证明符合工程材料特性、又便于工程应用的常用屈服条件有以下几种：
1. Tresca 最大剪应力屈服条件：
1864年，法国工程师屈雷斯加(H.Tresca)根据Coulomb对土力学的研究以及他自己在金属挤压试验中得到的结果，提出当最大剪应力达到某一定值η0时，材料就发生屈服。 因此， Tresca 屈服条件可用数学式表示为： ηmax =K
K为材料的剪切屈服应力，对不同材料的K值，要由实验确定。 由 其中?1> ?2>?3 则Tresca 条件也可写成：
例：1o. 对简单拉伸， ?1=?0， ?2=?3=0 屈服条件： ?0=2K 即 2o. 对纯剪切， ?1=-?3=τ0 ， ?2=0 屈服条件： η0 =K 即 K= η0
于是：纯剪切屈服极限是简单拉伸屈服极限的一半，即 *讨论：对于一般情况下的ζ1,ζ2,ζ3 ，（即不按ζ1>ζ2>ζ3的顺序排列）, Tresca屈服条件可写成：
或者：
写成应力偏量不变量的表达式：
其中K为最大剪应力屈服值，它等于简单拉伸屈服应力值的一半。 **Tresca屈服条件在主应力空间中的表示： 表示一对平行于ζ3及π面法线的平行平面，故Tresca屈服条件建立了与坐标轴成等倾斜的各边相等的正6角柱体。 屈服轨迹是一个正六边形。 外接圆半径为 （即2K在π面上投影）。
**讨论：主应力空间中屈服面上一点在π平面上的投影：
沿ζ1=σ2=σ3轴（即ON轴）方向看，屈服面在π面上投影是为屈服曲线。坐标轴ζ1,σ2,σ3在π面上投影为ζ1?,σ2?,σ3? 。在π面上建立Oxy，其中y与ζ2?重合。 考虑等倾面O?ABC，显然平行于π平面，与π平面距离为OO?. 等倾面法线 沿ON方向，即 从而
则ζ1,ζ2,ζ3在π面上投影
同时，π平面上应力在 x, y 轴上投影为 例3o：在平面应力状态下，令?3=0 则 ?1-?2=?2K ?1=?2K ?2=?2K
屈服轨迹是斜六边形。 讨论：
①应力点处于六边形内部时，材料处于弹性状态。
②当应力点达到屈服六边形上任一点时,材料开始进入塑性状态。 ③Tresca条件的局限性： <ⅰ>屈服轨迹不是光滑曲线，数学上应用困难。 <ⅱ>没有考虑中间应力影响。 2. Mises畸变能屈服条件：
畸变能：由于形状变化所储存在单位体积内的应变能。 (1)畸变能计算
<ⅰ>引起形状改变的应力状态为应力偏量Sij:(偏应力偏量) <ⅱ>由于形状变化所储存在单位体积内的应变能——畸变能： 其中 sij为应力偏量 eij为应变偏量 用主应力表示的畸变能： 其中 从而 其中
为第二应力偏量不变量
为八面体上的剪应力 *由广义Hooke定律： (2)Mises 屈服条件：
1913年Mises提出的用Tresca正六角柱体的外接圆柱体（即正六边形的外接圆）作为材料的屈服条件，从而克服了Tresca 屈服条件的局限。 Mises圆的方程 或
整理： (?1-?2)2+(?2-?3)2+(?3-?1)2=2(2K)2 由简单拉伸实验 ?s=2K 有 (?1-?2)2+(?2-?3)2+(?3-?1)2=2?s2 *定义“应力强度”或“等效应力” 则有 ?i=?s
若用第二应力偏量不变量J2来表示，
纯剪切时，（?1=-?3=τs， ?2=0）
有 （按Tresca屈服条件， ） 平面应力状态下，令?3=0，有 ?12-?1?2+?22=?s2 是为椭圆方程。 (为Tresca斜六边形的外接圆） (3) Mises 屈服条件的物理解释：
<ⅰ>1924年，汉基的畸变能准则： （畸变能达到某一数值时屈服） 即
单向拉伸时，（?1=?s， ?2= ?3=0）有 从而有 或 与Mises条件一致。
<ⅱ>1933年，那达依的八面体剪切力准则： η8=K2 (对单晶体可以，对多晶体意义不大) <ⅲ>1930年，罗斯和爱欣格的最大剪应力均方值准则： 都能得到与Mises准则同样形式的屈服函数。 3. Tresca 屈服条件与Mises屈服条件的讨论：
<ⅰ>几何上：按Tresca屈服条件，屈服面是π平面正六边形为母线的正六角柱体，屈服曲线为一正六边形。6个角点由实验得到，6边形连接成直线是假设的结果。
按Mises屈服条件，在π平面内的屈服曲线就是Tresca六边形的外接圆，屈服面便是Tresca屈服面的外接圆柱。
＜ii＞Tresca最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，对已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的，而Mises畸变能条件则显然复杂的多。
<ⅲ>Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，有欠缺，而Mises条件克服了这一点不足。
<ⅳ>实验证明，Mises条件比Tresca条件更接近于实验结果。 4.混凝土材料的屈服条件：
(1)特点：<ⅰ>混凝土、岩石类工程材料，受压强度比受拉强度高得多。 <ⅱ>无明显的屈服极限。拉伸图中ε-?曲线中无明显的直线段。以 ?0.2 规
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