定为屈服极限。
(2)屈服条件： <ⅰ>一般应力状态下的屈服条件，应在总结大量实验基础上确定。对于平面应力状态下混凝土材料的屈服曲线，主要不同在于混凝土材料的受压与受拉屈服应力值的不同。（如右图） 屈服条件为：
1o. 当?1>?3>?2，?3=0时，有
2o.当?1>?2>?3，?3=0时，有
3o.当?1>?2，?1>0时，有
<ⅱ>库伦—莫尔(Coulomb-Mohr) 屈服条件： 令 ?o?为材料简单拉伸的屈服应力 ?o??为材料简单压缩的屈服应力
例题：已知圆形截面直杆受弯扭组合作用，其弯矩Mb=10kN.m， 扭矩MT=30kN.m，简单拉伸时屈服应力?o=300MPa，安 全系数n=1.2
求：直径d为多大才不致屈服。 解：考虑杆截面及其应力状态： <ⅱ>Tresca条件给出：?1-?3=?s 或
<ⅰ>弯扭组合作用，杆内主应力 ?3=0 其中 代入：
d=0.109m, 即d至少要10.9cm。 <ⅲ>Mises条件给出： ?12-?1?2+?22=?s2 代入 整理得： ?2+3τ2=?s2 或 代入有：
d=0.104m=10.4cm, 即d至少要10.4cm。 4－8、增量理论：塑性状态下的本构关系
我们已经研究了在复杂状态下材料的屈服条件。当受力物体中一点的应力状态达到屈服条件后，在弹性范围内所建立的应力—应变关系就不再适用，需要建立塑性阶段的本构关系，以描述塑性阶段应力与应变之间的关系。
在塑性阶段，应力不但与应变有关，还和整个变形历史、 物质微观结构的变形有关。 在塑性阶段，应力—应变关系的重要特点：
(a)非线性：即应力—应变关系不再是线性关系，即Hooke 定律不再成立。
(b)不唯一性：指应力—应变不象弹性状态那样具有一一对应的关系，也就是应变不能由应力唯一确定。 1.问题提出： 几个基本概念：
(a)应力路径：在应力空间中，由于外载荷变化引起应力变化，使得代表一点应力状态的
应力点产生移动，应力点移动的轨迹称为应力路径。
(b)变形历史：记录应力状态变化的过程称为应力历史。
(c)加载路径和加载历史：在载荷空间中载荷点变化的轨迹即加载路径，该过程称为加载历史。
小结：弹性阶段：应变直接由Hooke定律求出，不需要了解变形历史。即：应变由应力即可决定。
塑性阶段：应变状态不但与应力状态有关，而且依赖于整个的历史。或者说：应变是应力和应力历史的函数。
简例：弹性阶段，零应力下一定是零应变。 塑性阶段，零应力下不对应零应变，且残余应变不唯一。 注意到
显然， 是卸载后的残余应变。
卸载时 保持不变，继续加载才有变化，即塑性应变和加载路径有关。
由于塑性状态的特点，在研究问题时，必须讨论应力的变化特征和应变的变化特征，计算时要考虑应力和应变的微量变化，计算其全部加载历史过程的增量，再积分求和。因此，塑性理论具有增量特征，塑性本构关系的本质是增量关系。 <ⅰ>塑性状态时的应变： 其中： 一点的总应变 弹性应变部分 塑性应变部分 2. 弹性本构关系的增量表示： <ⅱ>应变增量： 考虑： ? m(静水应力)只引起体积变化 sij(偏应力张量)只引起形状变化 由于塑性变形只由偏应力张量引起，故塑性状态的体积变形 即在塑性状态，材料不可压缩： 或 或
<ⅲ>应变偏量的增量： 考虑平均应变的增量
考虑应变偏量增量
<ⅳ>广义Hooke定律：弹性范围应变增量与应力增量之间关系： 而应力偏量 的增量 为 或
考察应变偏量exe的增量 整理 同理有 又有 从而
于是得到弹性范围内应力偏量增量与应变偏量增量之间的关系： 其中 为弹性体积膨胀系数 * 由于 则
讨论：(1)在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例， 比例常数为2G。
(2)平均正应力增量 与平均正应变增量 关系: 故 或者
3. 塑性阶段的本构关系：
说明塑性部分增量是总的应变偏量增量减去弹性部分应变偏量增量。 <ⅰ>塑性应变增量 由 考虑 简写成：
其中 为非负的标量比例函数， 根据加载历史的不同而变化。
<ⅱ>基本假定：在塑性变形过程中的任一微小时间增量内，塑性应变增量 与瞬时应力偏量 sij 成正比，即 或
<ⅲ>增量理论的本构方程： ①考察 注意到 故有
塑性应变增量 即是塑性偏应变增量 ②本构方程导出：由 其中 故有 代入 有
称为普朗特-雷斯本构方程 展开式：
这些本构方程给出了不同方向间塑性应变增量之比的关系式，实际大小并不确定。 方程表示应力主轴与塑性应变增量主轴重合。 <ⅳ>讨论非负的标量比例常数 的计算： 由 则 整理：
求 :
注意到 是在应力满足屈服条件时才不等于零，因此可以通过屈服条件来求 。 考虑 同理有
写成如下形式： 注意到： 有
于是得：
考虑有效应力(或称应力强度) ?i为:
定义有效塑性应变增量(或称塑性应变强度增量) 为: 从而有
代入本构方程
有
讨论：①上式为普朗特-雷斯方程的另一形式. ②由 在塑性阶段，可忽略弹性应变部分影响，即有： （在塑性阶段）
称为Levy-Mises 方程 可得
③由上述方程可见，流动理论的本构方程与广义虎克定律 在形式上相同，除含应变增量外，所不同的系数部分不 同。若在广义虎克定律中，泊松比用 代替， 用 代替，则可得流动理论的本构方程。 ④本构方程 和 为?i的函数，
也即J2 的函数，上述方程要用到Mises屈服条件（K2=J2），故它们是与Mises条件相关连的本构关系。
1. Levy-Mises流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即
式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是Levy和Mises分别在1871年和1931年独立提出的, 所以被称为Levy-Mises流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分, 所以只适用刚塑性体.
2. Prandtl-Reuss流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义Hooke定律; 而对于塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合. 即
又由塑性不可压缩性,体积变化式弹性的,有 这就是Prandtl-Reuss流动法则 解：分析思路：
<ⅰ>求圆筒的一点应力状态： 周向应力（环向应力）
轴向应力 （纵向应力）
例：已知薄壁圆筒受内压 p 作用，内半径为 a ，壁厚为 t ，假设 材料不可压缩，求圆筒完全进入塑性状态后主应变增量间的 比值。
由于，a>>t，故径向应力?r（外壁处为0，内壁处为p）与?θ 、 ?z相比很小，故可设?r =0 则?θ=2 ?z <ⅱ>平均应力
<ⅲ>应力偏量的分量（内侧点） <ⅳ>应变偏量分量增量： 有
<ⅴ>主应变偏量分量增量之比，即主应变分量增量之比
讨论：①由以上结果可以看出，薄壁筒的长度没有变化，z方向应变增量为零。只是由于壁厚的减小而引起直径的变化。 ②由以上例子可以看出，如已知应力状态，则可以唯一地确定变形的形式，但若只知应变状态，变得不到唯一解。这是因为这一变形形式可以对应许多只相差一个平均应力?m而具有相同应力偏量的应力状态，若得到这一情况下的唯一解，还应当知道某一主应力值。 1. 问题提出：
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