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www.jyeoo.com 又因为切线PA的斜率为，整理得 直线AB的斜率所以直线AB的方程为整理得，即 因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2 所以直线AB的方程为（3）根据抛物线的定义，有所以= 由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2 所以= 所以当时，|AF|?|BF|的最小值为 ， 点本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的评： 综合性． 21．（14分）（2013?广东）设函数f（x）=（x﹣1）e﹣kx（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当
时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．
x
2
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 压轴题；导数的综合应用． 分析： （1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间； （2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值． x2xxx解答： 解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）e﹣xf'（x）=e+（x﹣1）e﹣2x=x（e﹣2） 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） 0 0 + f'（x） + ﹣ ↗ ↘ ↗ f（x） 极大值 极小值 ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2） （2）f（x）=（x﹣1）e﹣kx，x∈[0，k]，xxx2． f'（x）=xe﹣2kx=x（e﹣2k）f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k） 令φ（k）=k﹣ln（2k），所以φ（k）在，上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k． 即0＜ln（2k）＜k 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k） 0 + f'（x） ﹣ ↘ ↗ f（x） 极小值 f（0）=﹣1，f（k）=（k﹣1）e﹣kf（k）﹣f（0）=（k﹣1）e﹣k+1=（k﹣1）e﹣（k﹣1）=（k﹣1）k2k2e﹣（k﹣1）（k+k+1）=（k﹣1）[e﹣（k+k+1）] 因为对任意的，所以k﹣1≤0 ，y=e的图象恒在y=k+k+1下方，所以e﹣（k+k+1）≤0 x2k2k3k3k3所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0） k3所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）e﹣k. 点评： 熟练掌握导数的运算法则、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键． ?2010-2014 菁优网
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参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；minqi5；wyz123；gongjy；wubh2011；caoqz；qiss；lincy（排名不分先后） 菁优网
2014年5月16日
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