复数
知识内容
一、复数的概念
1． 虚数单位i:
（1）它的平方等于?1，即i2??1；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i与－1的关系:
i就是?1的一个平方根，即方程x2??1的一个根，方程x2??1的另一个根是-i． （4）i的周期性：
i4n?1?i， i4n?2??1， i4n?3??i， i4n?1．
?实数a(b?0)?2． 数系的扩充：复数a?bi? ?纯虚数bi(a?0)虚数a?bi(b?0)???非纯虚数a?bi(a?0)?3． 复数的定义：
形如a?bi(a，b?R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 4． 复数的代数形式:
通常用字母z表示，即z?a?bi(a，b?R)，把复数表示成a?bi的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数a?bi(a，b?R)，当且仅当b?0时，复数a?bi(a，b?R)是实数a；当b?0时，复数z?a?bi叫做虚数；当a?0且b?0时，z?bi叫做纯虚数；当且仅当a?b?0时，z就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N苘Z7． 两个复数相等的定义：
Q苘RC
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a， a，，bd，
c，d?R，那么a?bi?c?di?a?c，b?d
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
b?是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐复数z?a?bi(a，b?R)与有序实数对?a，b?表示，这个建立了直角坐标系来表标是a，纵坐标是b，复数z?a?bi(a，b?R)可用点Z?a，示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．
0?，它所确定的复数是2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为?0，z?0?0i?0表示是实数．
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3．
?复平面内的点Z(a，复数z?a?bi????b) 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．
一一对应三、复数的四则运算
1． 复数z1与z2的和的定义：
z1?z2??a?bi???c?di???a?c???b?d?i
2． 复数z1与z2的差的定义：
z1?z2??a?bi???c?di???a?c???b?d?i
3． 复数的加法运算满足交换律:z1?z2?z2?z1
4． 复数的加法运算满足结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3) 5． 乘法运算规则：
设z1?a?bi，z2?c?di(a、b、c、d?R)是任意两个复数， 那么它们的积z1z2??a?bi??c?di???ac?bd???bc?ad?i
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换成?1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：
（1）z1?z2z3???z1z2?z3 （2）(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)
2（3）z1?z2?z3??z1z2?z1z3 7． 复数除法定义：
满足?c?di??x?yi???a?bi?的复数x?yi(x、y?R)叫复数a?bi除以复数c?di的商，记为：
(a?bi)??c?di?或者8． 除法运算规则：
a?bi c?di设复数a?bi (a、b?R)，除以c?di (c，d?R)，其商为x?yi（x、y?R)， 即(a?bi)??c?di??x?yi∵?x?yi??c?di???cx?dy???dx?cy?i ∴?cx?dy???dx?cy?i?a?bi
ac?bd?x????cx?dy?ac2?d2， 由复数相等定义可知?，解这个方程组，得??dx?cy?b?y?bc?ad?c2?d2?于是有: (a?bi)??c?di??ac?bdbc?ad?2i 222c?dc?da?bi的分母有理化得： c?di②利用?c?di??c?di??c2?d2于是将
原式?a?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i ??c?di(c?di)(c?di)c2?d2(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?i．
c2?d2c?d2c2?d2ac?bdbc?ad?i
c2?d2c2?d2?∴((a?bi)??c?di??点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c?di与复数c?di，相当于我们初中学习的3?2的对偶式3?2，它们之积为1是有理数，而?c?di??c?di??c2?d2是正实数．所以可以分母实数化． 把这种方法叫做分母实数化法． 9． 共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
例题精讲
1． 复数的概念
?a?i?【例1】 已知?，那么实数a，b的值分别为（ ） ???2?bi(i为虚数单位）
?1?i?A．2，5 B．-3，1 C．-1．1 D．2，?【答案】D
3 2【例2】 计算：i0!+i1!+i2!+L+i100!? （i表示虚数单位） 【答案】95?2i
【解析】 ∵i4?1，而4|k!（k?4），故i0!+i1!+i2!+L+i100!?i?i?(?1)?(?1)?1?97?95?2i
【例3】 设z?(2t2?5t?3)?(t2?2t?2)i，t?R，则下列命题中一定正确的是（ ）
A．z的对应点Z在第一象限 B．z的对应点Z在第四象限 C．z不是纯虚数 D．z是虚数
【答案】D
t2?2t?2?(t?1)2?1?0． 【解析】
【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若(x2?1)?(x2?3x?2)i是纯虚数，则实数x??1； ③z是虚数的一个充要条件是z?z?R；
④若a，b是两个相等的实数，则(a?b)?(a?b)i是纯虚数； ⑤z?R的一个充要条件是z?z． ⑥z?1的充要条件是z?A．1
【答案】B
【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；x??1时， (x2?1)?(x2?3x?2)i?0，②错；z为实数时，
也有z?z?R，③错；a?b?0时， (a?b)?(a?b)i?0，④错；⑤⑥正确．
2． 复数的几何意义 【例5】 复数z?
B．2
1． zC．3
D．4
m?2i（m?R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） 1?2iA．第一象限
【答案】A 【解析】 由已知z?B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
m?2i(m?2i)(1?2i)1??[(m?4)?2(m?1)i]在复平面对应点如果在第一象限，则1?2i(1?2i)(1?2i)5?m?4?0，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限． ?m?1?0?
5??3【例6】 若???π，π?，复数(cos??sin?)?(sin??cos?)i在复平面内所对应的点在（ ）
4??4A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
5??3【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当???π，π?时，cos??sin??0，sin??cos??0．
4??4
【例7】 如果复数z满足z?i?z?i?2，那么z?i?1的最小值是（ ）
A．1
【答案】A
【解析】 设复数z在复平面的对应点为Z，因为z?i?z?i?2，
所以点Z的集合是y轴上以Z1(0，1)、Z2(0，?1)为端点的线段．
z?i?1表示线段Z1Z2上的点到点(?1，?1)到点(?1，?1)的距离．此距离的最小值为点Z2(0，?1) B．2 C．2 D．5
的距离，其距离为1．
【例8】 满足z?1及z?13?z?的复数z的集合是（ ） 22?1?313???1111?i，??i? B．??i，?i? A．???22??2222???22???222?313??2??1??i，?i? D．??i，?i? C．?222?22????2??22?【答案】D
【解析】 复数z表示的点在单位圆与直线x?相等，故轨迹为直线x?
【例9】 已知复数(x?2)?yi(x，y?R)的模为3，则131?1??3?0?与点?，0?的距离上（z??z?表示z到点??，22222????1），故选D． 2y的最大值为_______． xyOCx
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