第二章 平面向量章末检测（A）
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．与向量a＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( )
1331A．(，)或(1，3) B．(，)
2222C．(0,1) D．(0,1)或(
31
，) 22
11
2．设向量a＝(1,0)，b＝(，)，则下列结论中正确的是( )
22A．|a|＝|b| B．a2b＝
2 2
C．a－b与b垂直 D．a∥b
3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2)
→→→
4．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于( ) A．0 B．2＋2 C.2 D．22 5．若a与b满足|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a2a＋a2b等于( ) 133
A. B. C．1＋ D．2 222
6．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
1313A．－a＋b B.a－b
22223131C.a－b D．－a＋b 2222
7．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)2c＝30，则x＝( ) A．6 B．5 C．4 D．3
→→
8．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的形状为( ) A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
→→
9．设点A(1,2)、B(3,5)，将向量AB按向量a＝(－1，－1)平移后得到A′B′为( ) A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,7)
10．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) ?10??10?A.?，＋∞? B.?，＋∞? ?3??3?
10?10???C.?－∞，? D.?－∞，? 3?3???
→→
11．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA2AB等于( ) A．2 B．－2
→
C．|AB|cos A D．与菱形的边长有关
12．如图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )
1
→→→→A.P1P22P1P3 B.P1P22P1P4 →→→→C.P1P22P1P5 D.P1P22P1P6 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________. 14．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a2b＝________.
15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．
16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为
→→→
半径OC上的动点，则(PA＋PB)2PC的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)． (1)若|c|＝25，且c∥a，求c；
5
(2)若|b|＝，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角．
2
18．(12分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时，
(1)c∥d；(2)c⊥d.
2
11
19．(12分)已知|a|＝1，a2b＝2，(a－b)2(a＋b)＝2
，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
20．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(→AB－tOC→)2→
OC＝0，求t的值．
21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB.
22．(12分)已知向量OP→→→→→→→→→
1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1. 求证：△P1P2P3是正三角形．
第二章 平面向量(A)
3
答案
1．D 2.C
3．D [根据力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．]
→→→→→
4．D [|a＋b＋c|＝|AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝22.]
132
5．B [由题意得a2a＋a2b＝|a|＋|a||b|cos 60°＝1＋＝，故选B.]
22
??λ＋μ＝－1
6．B [令c＝λa＋μb，则?
?λ－μ＝2，?
1
λ＝??2 ∴?3
μ＝－，??2
13
∴c＝a－b.]
22
7．C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)2c＝30，∴(6,3)2(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.]
→→
8．C [∵BA＝(4，－3)，BC＝(2，－4)， →→→
∴AC＝BC－BA＝(－2，－1)， →→
∴CA2CB＝(2,1)2(－2,4)＝0，
→→→→
∴∠C＝90°，且|CA|＝5，|CB|＝25，|CA|≠|CB|. ∴△ABC是直角非等腰三角形．]
→→→→→
9．B [∵AB＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB后得A′B′，A′B′＝AB＝(2,3)．]
10λ2－6
10．A [a2b＝－3λ＋10<0，∴λ>.当a与b共线时，＝，∴λ＝.此时，a与b3－355
10
同向，∴λ>.]
3
11．B [
→→→→→→→→
如图，设对角线AC与BD交于点O，∴AB＝AO＋OB. CA2AB＝CA2(AO＋OB)＝－2＋0＝－2，故选B.]
12．A [根据正六边形的几何性质．
ππ→→→→
〈P1P2，P1P3〉＝，〈P1P2，P1P4〉＝，
63π2π→→→→
〈P1P2，P1P5〉＝，〈P1P2，P1P6〉＝.
23
→→→→
∴P1P22P1P6<0，P1P22P1P5＝0，
π3→→→→→
P1P22P1P3＝|P1P2|23|P1P2|cos ＝|P1P2|2，
62π→→→→→
P1P22P1P4＝|P1P2|22|P1P2|2cos ＝|P1P2|2.比较可知A正确．]
3
13．－1
解析 ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)． ∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)2(m－1)＝0.∴m＝－1. 14．3
解析 a2b＝|a||b|cos 30°＝2232cos 30°＝3. 15．6
22
解析 由(2a＋3b)2(ka－4b)＝2ka－12b＝2k－12＝0，∴k＝6.
4
116．－
2
→→→→→
解析 因为点O是A，B的中点，所以PA＋PB＝2PO，设|PC|＝x，则|PO|＝1－x(0≤x≤1)．
121→→→→→
所以(PA＋PB)2PC＝2PO2PC＝－2x(1－x)＝2(x－)－.
22
11→→→
∴当x＝时，(PA＋PB)2PC取到最小值－. 22
17．解 (1)∵c∥a，∴设c＝λa，则c＝(λ，2λ)． 又|c|＝25，∴λ＝±2，∴c＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)2(2a－b)＝0.
55
∵|a|＝5，|b|＝，∴a2b＝－.
22∴cos θ＝a2b＝－1，∴θ＝180°.
|a||b|
1
18．解 由题意得a2b＝|a||b|cos 60°＝2333＝3.
2
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)．
9
∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k＝. 5
(2)当c⊥d时，c2d＝0，则(5a＋3b)2(3a＋kb)＝0.
2922
∴15a＋3kb＋(9＋5k)a2b＝0，∴k＝－.
14
1122222
19．解 (1)∵(a－b)2(a＋b)＝|a|－|b|＝1－|b|＝，∴|b|＝，∴|b|＝，
222
12a2b2
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.∴θ＝45°.
|a||b|22
132(2)∵|a|＝1，|b|＝2， 2
1112222
∴|a－b|＝a－2a2b＋b＝1－23＋＝.∴|a－b|＝，
222211510222
又|a＋b|＝a＋2a2b＋b＝1＋23＋＝.∴|a＋b|＝，
2222设a－b与a＋b的夹角为α，则cos α＝
a－ba＋b＝|a－b|2|a＋b|2
5
＝.即a－b105322
12
5. 5
→→
20．解 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，
→→→→
求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． →→→→
由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， →→→→
由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→2→→→2
(2)OC＝(－2，－1)，∵(AB－tOC)2OC＝AB2OC－tOC，易求AB2OC＝－11，OC＝5， 与a＋b的夹角的余弦值为
5
11→→→
∴由(AB－tOC)2OC＝0得t＝－. 5
21．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)， E(1,2)，F(0,1)． →→→
(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→
CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→
∵BE2CF＝－13(－2)＋23(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→→
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)， →→
∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
→→
同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
68?68?解得x＝，∴y＝，即P?，?. 55?55?→2?6?2?8?2→2
∴AP＝??＋??＝4＝AB，
?5??5?→→
∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB.
→→→→→→
22．证明 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，
→→2→2
∴(OP1＋OP2)＝(－OP3)，
→2→2→→→2
∴|OP1|＋|OP2|＋2OP12OP2＝|OP3|，
1→→
∴OP12OP2＝－，
2
→→OP12OP21
cos∠P1OP2＝＝－，
→→2|OP1|2|OP2|
→→→
∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，即OP1、OP2、OP3中任意两个向量的夹角为120°，故△P1P2P3是正三角形．
6
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