复变函数题库（包含好多试卷 - 后面都有答案）

《复变函数》考试试题（八）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

z?z04、若函数f(z)是区域D内解析，并且f?(z)?0(?z?D)，则f(z)是区域D的单叶函数.（ ）

5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（ ） 7、若函数f(z)在区域D内解析且f?(z)?0，则f(z)在D内恒为常数.（ ） 8. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(111)?0且f()?,n?1,2,?.（ ） n?12n2n9. 如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?1(z?1).（ ）

10. sinz是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若zn???n?21?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn2、设f(z)?lnz，则f(z)的定义域为____________________________. 3、函数sinz的周期为______________. 4、若limzn??，则limn??z1?z2???zn?_______________.

n??n5、幂级数

?nzn的收敛半径为________________.

n?0??56、函数f(z)?1的幂级数展开式为______________________________. 1?z27、若C是单位圆周，n是自然数，则

1?C(z?z0)ndz?______________.

8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9、方程15z?z?4z?8?0在单位圆内的零点个数为___________. 10、若f(z)?5321，则f(z)的孤立奇点有_________________. 1?z2三、计算题（30分） 1、求

?z?1ez?1sinzdz?1dz ?z?32?i(z?1)(z?4)3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?).

z?14、求函数

z?10在2?z???内的罗朗展式.

(z?1)(z2?2)z?1的实部与虚部. z?1635、求复数w?四、证明题（20分）

1、方程15z?5z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

4、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的区域?z:0?argz?71的m阶极点. f(z)??4???保形映射为w平面的单位圆盘5??w:w?1?.

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（ ）

z?z04、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（ ）

?Cf(z)dz?0.

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（ ）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)（. ）

8、如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?1(z1)?9、lime??.（ ）

z??z??10、如果函数f(z)在z?1内解析，则max{f(z)}?max{f(z)}.（ ）

z?1z?1二、填空题（20分）

12?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12、设f(z)?，则f(z)的定义域为____________________________.

sinz3、函数sinz的周期为______________.

1、若zn?sin4、sinz?cosz?_______________. 5、幂级数

22?nzn?0??n的收敛半径为________________.

6、若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________.

8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9、方程20z?11z?3z?5?0在单位圆内的零点个数为___________.

83ez,1)?_________________. 10、Res(2z?1三、计算题（30分）

n?2?i?1、lim?? n??6??3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?i).

z?14、求函数

z在1?z?2内的罗朗展式.

(z?1)(z?2)z?1的实部与虚部. z?15、 求复数w?6、 利用留数定理计算积分四、证明题（20分）

?????x2?x?2dx.

x4?10x2?91、方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

7、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域?z:盘w:w?1.

7631的m阶极点. f(z)?????Imz???保形映射为w平面的单位圆2???