=－9p（5q－4）＋45q－36 u乙=9p（1－q）－36（1－p）（1－q） =9p－9pq－36＋36p＋36q－36pq =－45pq＋36q＋45p－36 =－9q（5p－4）＋45p－36
3、根据期望支付函数写出反应函数（2分） 甲的反应函数
p=1 当q＜ p=[0，1] 当q＝ p=0 当q＞ 乙的反应函数
q=1 当p＜ q=[0，1] 当p＝ q=0 当p＞
4、根据反应函数画反应函数曲线（2分）
q10.8q10.8q10.800.81p00.81p00.81p5、反应曲线的交点（0，1）、（1,0）、（，）→该博弈的混合策略Nash均衡（2分）
四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P，生产成本为零。如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。（20分） 参考答案
1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）
由于假定生产成本为零，所以利润π=TR－TC= TR
2
π=TR=PQ =（a－Q）Q=aQ－Q
令π′=0；即a－2Q=0 → Q=a/2 →所以q甲=a/4，q乙=a/4 ∵Q=12－P ∴P=a－Q=a－a/2=a/2
2
π甲= Pq甲=a/2×a/4=a/8
2
π乙= Pq乙=a/2×a/4=a/8
2）古诺产量和利润的计算（5分） 根据已知条件P=a－Q=a－q1－q2；c=0 所以π甲=Pq1=（a－q1－q2）q1
π乙=Pq2=（a－q1－q2）q2 令π甲′= a－2q1－q2=0 π乙′=a－q1－2q2=0
2aa
可求得q1=a/3 q2=a/3 →Q=q1＋q2= →P=a－Q=
33
aaa
π甲=Pq1= × =
339
2
aaa
π乙=Pq2= × =
339
aaaa5a
3）如果一厂商生产垄断产量的一半 ，另一方生产古诺产量 →P=a－Q=a－（ ＋ ）=
4343125aa5a
前者利润= × =
124485aa5a
后者利润= × =
12336
（5分）
4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：
a/4a/4甲a/322
2
乙a/3a2/8，a2/85a2/36，5a2/485a2/48，5a2/36a2/9，a2/9垄断产量一半为a/4；古诺产量为a/31515a5a5aa∵ =， ≈； ≈， ≈→ ＜ , ＜ 836948836489
aa
∴两厂商垄断产量的一半 都是相对于古诺产量 的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash
43aaa
均衡，也是严格优势策略均衡，是（ ， ），这个Nash均衡的双方的支付 ，显然不如双方都
339aa
采用 的支付 ，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈
48
（5分）
五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash均衡和博弈的结果。（20分）
参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）
1、甲取到3，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：
（1，2）换乙
换甲（1，3）不换
换（3，2）不换
乙 不换（3，1）⑵求该博弈的Nash均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡
2
2
2222
乙甲换换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲换乙换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）不换不换乙乙不换不换（换，{换，换})对局乙甲换换不换换（换，{换，不换})对局换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲换乙（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）不换不换乙乙不换不换（换，{不换，换})对局（换，{不换，不换})对局乙甲换换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）甲换乙换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）不换不换乙不换乙不换（不换，{换，换})对局乙甲换换不换换（不换，{换，不换})对局乙甲换换不换换（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）（1，2）（1，3）（3，2）（3，1）不换不换乙乙不换不换（不换，{不换，换})对局（不换，{不换，不换})对局8张图中没有箭号的只有两张，所以Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})；博弈的结果是（不换，换）
方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})
乙
{换，换}{换，不换}{不换，换}{不换，不换}
换1，21，21，31，3甲
不换3，23，13，23，1
⑶该博弈的结果：用倒推法（剪枝法）可求得该博弈的结果是（不换，换），得到的支付是（3,2），乙输甲1根火柴。 （1，2）换乙∥
换∥ 甲（1，3）不换
换（3，2）不换
乙 不换∥（3，1）
2、甲取到3，乙取到2 ⑴该博弈的博弈树是：
（2，1）换乙
换甲（2，3）不换
换 （3，1）不换 乙不换 （3，2）
⑵求该博弈的Nash均衡
方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡
（2，1）（2，1）换 换乙乙 换换甲甲（2，3）不换（2，3）不换
换 换（3，1）（3，1）不换不换 乙乙不换不换 （3，2）（3，2） （换，{换，不换})对局（换，{换，换})对局
（2，1）（2，1） 换换乙乙 换换甲甲（2，3）不换（2，3）不换
换换（3，1）（3，1）不换不换 乙乙不换不换 （3，2）（3，2） （换，{不换，不换})对局（换，{不换，换})对局
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