第1讲 空间几何体中的计算与位置关系
高考定位 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下；2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问.
真 题 感 悟
1.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若mα，nα，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，mα，nα，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A. 答案 A
2.(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )
3
A.2
B.4
C.6
D.8
解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V1
＝×(1＋2)×2×2＝6.故选C. 2答案 C
3.(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm，体积是________cm.
2
3
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：
其体积V＝2×2×2×4＝32(cm)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm). 答案 72 32
4.(2016·浙江卷)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体
2
3
PBCD的体积的最大值是________.
解析 设PD＝DA＝x，
在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝AB＋BC－2·AB·BC·cos∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，
1
∴CD＝23－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°，
2
1111
∴S△BCD＝BC·DC×sin∠ACB＝×2×(23－x)×＝(23－x).
2222
要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为
2
2
x，
1112
则V四面体PBCD＝×(23－x)x＝[－(x－3)＋3]，由于0＜x＜23，故当x＝3时，V四面
326
体PBCD11
的最大值为×3＝.
62
1
答案
2
考 点 整 合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.
2.几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正，高平齐，宽相等. 3.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)； 1
②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；
2
1
③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高)；
2④S球表＝4πR(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)； 1
②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；
343
③V球＝πR.
3
4.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a2
α，bα，a∥ba∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b. (3)面面平行的判定定理：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b. 5.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥nl⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥αa∥b. (3)面面垂直的判定定理：aβ，a⊥αα⊥β.
α，
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，aa⊥la⊥β.
热点一 空间几何体的表面积与体积的求解 [考法1] 以三视图为载体求几何体的面积与体积 【例1－1】 (1)
(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( ) π
A.＋1 2
B.π＋3 2
C.
3π3π＋1 D.＋3 22
3
(2)(2018·舟山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________.
(3)(2018·绍兴质量调测)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________.
解析 (1)由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1112
1，高为3，三棱锥的底面积为×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V＝×π×1×3×
2231π
＋1×3×＝＋1.
32
(2)该几何体可看作是由一个斜三棱柱ADE-GHF和一个正四棱锥F-GBCH拼接而成的组合体，
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