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(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第1讲 空间几何体中的计算与位置关系学案

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的真伪,可使此类问题迅速获解. [考法2] 平行、垂直关系的证明

【例2-2】 (2018·北京卷)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面

ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.

(1)求证:PE⊥BC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.

证明 (1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形, 所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB.又PD平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图,取PC中点G,连接FG,DG. 因为F,G分别为PB,PC的中点, 所以FG∥BC,FG=1

2

BC.

因为ABCD为矩形,且E为AD的中点, 所以DE∥BC,DE=1

2BC.

所以DE∥FG,DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG.

又因为EF平面PCD,DG平面PCD,

所以EF∥平面PCD.

探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直. 【训练2】 如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,

BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在

棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.

证明 (1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD, 则AB∥EF.

∵AB平面ABC,EF平面ABC, ∴EF∥平面ABC.

(2)∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC平面BCD, ∴BC⊥平面ABD.

∵AD平面ABD,∴BC⊥AD.

又AB⊥AD,BC,AB平面ABC,BC∩AB=B, ∴AD⊥平面ABC,

又因为AC平面ABC,∴AD⊥AC.

1.求解几何体的表面积或体积

(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.

(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.

(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.

(4)求解几何体的表面积时要注意S表=S侧+S底.

2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为

3a2

a,,a. 222

11

3.锥体体积公式为V=Sh,在求解锥体体积中,不能漏掉.

33

4.空间中点、线、面的位置关系的判定

(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.

(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.

5.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:

(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,

aαl⊥a.

6.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.

一、选择题

1.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C.

答案 C

2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )

A.90π

B.63π

C.42π

D.36π

解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.

将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的1

体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V2

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