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【例2－2】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面
ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形， 所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A， 所以PD⊥平面PAB.又PD平面PCD， 所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点， 所以FG∥BC，FG＝1
2
BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点， 所以DE∥BC，DE＝1
2BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG.
又因为EF平面PCD，DG平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 【训练2】 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，
BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在
棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF.
∵AB平面ABC，EF平面ABC， ∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC平面BCD， ∴BC⊥平面ABD.
∵AD平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，∴AD⊥AC.
1.求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
(4)求解几何体的表面积时要注意S表＝S侧＋S底.
2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为
3a2
a，，a. 222
11
3.锥体体积公式为V＝Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉.
33
4.空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.
5.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，
aαl⊥a.
6.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.
一、选择题
1.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.
答案 C
2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的1
体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V2
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