的真伪,可使此类问题迅速获解. [考法2] 平行、垂直关系的证明
【例2-2】 (2018·北京卷)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面
ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.
证明 (1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD. 所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形, 所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以AB⊥平面PAD. 所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB.又PD平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图,取PC中点G,连接FG,DG. 因为F,G分别为PB,PC的中点, 所以FG∥BC,FG=1
2
BC.
因为ABCD为矩形,且E为AD的中点, 所以DE∥BC,DE=1
2BC.
所以DE∥FG,DE=FG.
所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG.
又因为EF平面PCD,DG平面PCD,
所以EF∥平面PCD.
探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直. 【训练2】 如图,在三棱锥ABCD中,AB⊥AD,
BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在
棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.
证明 (1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD, 则AB∥EF.
∵AB平面ABC,EF平面ABC, ∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC平面BCD, ∴BC⊥平面ABD.
∵AD平面ABD,∴BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC,AB平面ABC,BC∩AB=B, ∴AD⊥平面ABC,
又因为AC平面ABC,∴AD⊥AC.
1.求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
(4)求解几何体的表面积时要注意S表=S侧+S底.
2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为
3a2
a,,a. 222
11
3.锥体体积公式为V=Sh,在求解锥体体积中,不能漏掉.
33
4.空间中点、线、面的位置关系的判定
(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.
(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.
5.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如下:
(1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换:三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.
(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α,
aαl⊥a.
6.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.
一、选择题
1.(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 在正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为3,故选C.
答案 C
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知,该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得,如图所示.
将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的1
体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V2
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