§3.1.1 空间向量及其加减运算导学案
知识点一 空间向量的概念
判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
① 向量AB与AC是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ② ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的
向量，若起点不同，则终点一定不同.
解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD在同一条直线上.②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同.③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④不正确，因为A、B、C、D可能共线.⑤正确.⑥不正确，如图所示，AC与BC共线，虽起点不同，但终点却相同.
【反思感悟】 解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．
下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC 答案 B
解析|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b=-a故|a|=|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB+AD=AC，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.
知识点二 空间向量的加、减运算
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式．
（1）AA1 +A1B1；（2）（3）AA1+
11A1B1+ A1D1； 221A1B1+A1D1； 2
（4）AB+BC+CC1+C1A1+A1A;
?????????解 （1）AA1?B1B =AB1.
1?????1?????1??????????1??????????（2）A1B1?A1D1?(A1B1?A1D1)?A1C1?A1M
2222????1?????1???????????????????（3）AA1?A1B1?A1D1?AA1?A1M?AM
2?????????????2?????（4）AB?BC?CC1?C1A1?0
【反思感悟】 向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，同平面向量相同，封闭图形，首尾连续向量的和为0..
已知长方体ABCD—A′B′C′D′,化简下列向量表达式:
????????(1)AA'?CB;
?????????????????(2)AB'?B'C'?C'D'
??????????????????????????????解 (1)AA'?CB=AA'?BC =AA'?A'D?AD'A
??????????????????????(2)AB'?B'C'?C'D'?AD'
知识点三 向量加减法则的应用
??????????????????? 在如图所示的平行六面体中，求证：AC?AB'?AD'?2AC'
证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
?????????????????????????→→→∴ AC?AB?AD, AB'?AB?AA', AD′＝AD＋AA′.
??????????????????????????????????????????????????∴AC?AB'?AD'??(AD?AA')?(AB?AD)?(AB?AA')=2(AB?AD?AA'),
→→→
又由于 AB＝CC′，AD＝BC，
?????→????→→→???→→
∴ AB＋AD＋AA′= AB＋BC＋CC′=AC＋CC′＝AC′， ????→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
????????????AB?AD?AA',该结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广(即平行六面体法
则).
→
【反思感悟】 在本例的证明过程中,我们应用了平行六面体的对角线向量AC′=
????→????（1）AB＋AD＋AA1;；
??????????????（2）AB?CC1?DD1;.
解 如图，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段.
?????→????????????????（1）AB＋AD＋AA1= AC?AA1?AC1;
???????????????????????????????????????(2)AB?CC1?DD1=AB?BB1?AA1?AB1?AA1?A1B1
??????????图中AC1 ，A1B1为所求.
课堂小结：
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由减数b的终点指向被减数a的终点的一条有向线段．
课时作业
一、选择题
1．判断下列各命题的真假：
????→→
①向量AB的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
????→
⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5 答案 C
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
????→→→→→→
2. 已知向量AB，AC，，AC，BC 满足 |AB| ＝ |AC|＋|BC|，则( )
????→→????→→A．AB＝AC＋BC B．AB＝－AC－BC
→→→→→
C．AC与BC同向 D．AC与CB与CB同向
答案 D
????→→→→
解析 由 |AB| = |AC | + |BC | = |AC | + |CB|,知C点在线段AB上，否则与三角形两边之
→→→
和大于第三边矛盾，所以AC与CB与CB同向
?????????????3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量表达式DD1?AB?BC化简后的结果是（ ）
?????????? A.BD1 B.D1B
?????????? C.B1D D.DB1
答案 A
解析 如图所示，
?????→→→→→
因 DD1＝AA1，DD1－AB＝AA1－AB＝BA1，
????→→BA1＋BC＝BD1， ?????→→→∴DD1－AB＋BC＝BD1.
4．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
????→→→????→→→
A.EB＋BF＋EH＋GH＝0 B. EB＋FC＋EH＋GE＝0
????→→→????→→→C. EF＋FG＋EH＋GH＝0 D.EF－FB＋CG＋GH＝0
答案 B
解析 如图所示，
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