六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
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【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B 【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的， （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3种分配方式。 故选（B） ?(1?2)?9【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )
（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种 答案：B
高☆考♂资♀源�网 ☆六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。
222C6C4C2222【解析】：（1）CCC （2）CCCA （3） （4）C6C4C2 （5）3A3高☆考♂资♀源�网 ☆
16253316253333211111C5C5C4C3C2C15A5
A44
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
高☆考♂资♀源�网 ☆211C4?C2?C1【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; 2A23第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A3所以满足条件得分配的方案有211C4?C2?C13?A3?362A2
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311C5C2C13?A【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有3＝60种， 2A2若是1,1,3，
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122C5C4C23?A3则有＝90种，所以共有150种，选A 2A2【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A．70 B．140 C．280 D．840 答案：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
12C5?C4名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 ?15种方法，再将3组分到3个班，2A23共有15?A3?90种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超 过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
高☆考♂资♀源�网 ☆22233【解析】：按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，∴C4C3A2?C4A3?36?24?60 故选
D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
44C12C84C43答案：A3A33高☆考♂资♀源�网 ☆
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担 这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
211三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种，选C.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发 建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
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【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A8种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A8方法，所以共
有3A8；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A8种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方
法，然后再安排其余8人到另
两个城市有A8种，共有7A8方法.所以共有不同的派遣方法总数为
4332A8?3A8?3A8?7A8?4088种
223334【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4?144种.
3223七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C16?120种。
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【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆 至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6故共有不同的分配方案为C9?84种.
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变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其 中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件 的关灯办法有 种 【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个 中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
高☆考♂资♀源�网 ☆【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有C4种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C3、C4、C5种方法。 3、由分步计数原理可得C4C3C4C5=720种
32222223八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、 日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日 语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
4431441324423113 C5C4?C5C2C4?C5C2C4?C5C4?C5C4?C5C2C1C4
变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中
选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案 ：185
高☆考♂资♀源�网 ☆九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之
间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数： 1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
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