Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1
② ①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1. 1
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
9
18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰
梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值． 解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，
则A(1,0,0)，B(0,1,0)．
(1)证明：设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)， 1m
则D(0，m,0)，E(，，0)．
22
1m
可得PE＝(，，－n)，BC＝(m，－1,0)．
22mm
BC＝2－2＋0＝0， 因为PE·所以PE⊥BC.
(2)由已知条件可得m＝－故C(－3
，n＝1， 3
3313，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)． 3326
设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，
?1x－3y＝0，?HEn·＝0，?2?6
则?即????n·HP＝0，?z＝0.
因此可以取n＝(1，3，0)．
由PA＝(1,0，－1)，可得|cos〈PA，n〉|＝所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为
2， 42. 4
19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿者 需要 不需要
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
附：
P(K2≥k) k
n?ad－bc?2
K＝ ?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
男 40 160 女 30 270 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 解：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需70
要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
500
2
500×?40×270－30×160?
(2)K2＝≈9.967.
200×300×70×430
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
x2y2
20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过
abF1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
4
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.
3l的方程为y＝x＋c, 其中c＝
a2－b2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
??y＝x＋c，?x2y2化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， ??a2＋b2＝1.
－2a2ca2?c2－b2?则x1＋x2＝22，x1x2＝22.
a＋ba＋b
因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝ 4ab24
得a＝22，故a2＝2b2， 3a＋bc
所以E的离心率e＝＝
a
a2－b22
＝. a2
2[?x1＋x2?2－4x1x2].
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x1＋x2－a2cc2
x0＝＝2＝－c，y＝x＋c＝. 00
233a＋b2由|PA|＝|PB|得kPN＝－1. y0＋1即＝－1，
x0
得c＝3，从而a＝32，b＝3. x2y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
189
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2. (1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围． 解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立． 故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0， 1
即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，
2于是当x≥0时，f(x)≥0.
1
由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x) 2－1)(ex－2a)， 故当x∈(0，ln2a)时， f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln2a)时，f(x)<0，综合得1 a的取值范围为(－∞，]． 2 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD. 证明：(1)因为AC＝BD， 所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC， 即BC2＝BE×CD. 23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
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