线性代数（同济第5版）复习要点

线性代数(同济第5版)复习要点

以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线

第一章 行列式

基本结论

1．行列式的性质

（1） 互换行列式的两行，行列式变号.

（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.

（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开

定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin (i?1,2,?,n)

3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即

a11D?a21a12a22?a1n?a2n?0

???????an1an2?ann那末，线性方程组有唯一的解

x1?DD1D,x2?2,?,xn?n, DDD主要计算

计算行列式：

1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n阶行列式. 例

31?12?513?41．（例7）计算行列式 D?

201?11?53?3312．（例8）计算行列式 D?111311113111 13第二章 矩阵及其运算

基本概念

注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律AB?BA

3．矩阵乘法有零因子出现：A?O,B?O，但却有AB?O 4．消去律不成立：AB?AC，推不出B?C

第 1 页 共 9 页

基本结论 1．转置 (i) (ii) (iii) (iv)

(AT)T?A (A?B)T?AT?BT (kA)T?kAT (AB)T?BTAT

2．方阵的行列式 (i) (ii) (iii)

|AT|?|A|（行列式性质1）； |?A|??n|A|; |AB|?|A||B|

3．A的伴随矩阵

AA??A?A?|A|E 4．逆矩阵

A可逆?|A|?0?R(A)?n?A~E?A?E1E2?EsEi是初等矩阵

推论 若AB?E（或BA?E），则B?A?1 方阵的逆阵满足下述运算规律：

（i）若A可逆，则A?1亦可逆，且(A?1)?1?A. （ii）若A可逆，数??0，则?A可逆，且(?A)?1?1?A?1

（iii）若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (AB)?1?B?1A?1 （iv）若A可逆，则AT亦可逆，且(AT)?1?(A?1)T 基本计算

用上面基本结论进行简单计算 主要计算

求A?1：公式法A?1?1?A |A|基本证明

用上面基本结论进行简单证明 例

第 2 页 共 9 页

?123???1. （例11）求矩阵的逆矩阵A??221?

?343???

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

基本结论

线性方程组解的判定：

1. n元非齐次线性方程组AX?b

AX?b有解?R(A)?R(B).

有解时，（记R(A)?R(B)?r）

（1）r?n时，AX?b有唯一解 （2）r?n时，AX?b有无穷多解

2．齐次线性方程组AX?0 （AX?0是AX?b的特殊情形）

由于AX?0永远满足R(A)?R(B)，故AX?0总有解（至少有零解）从而 （1）r?n时，AX?0有唯一零解

（2）r?n时，AX?0有（无穷多）非零解 基本计算

1．会求矩阵的秩

2．会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 3．会用初等变换求矩阵的逆

初等变换(A|E)?(E|A) ；(包括求矩阵方程AX?B，用(A|B)?(E|A?1B)； 主要计算

1． 设非齐次线性方程组AX?b，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ 2． 会用初等变换求矩阵的逆 例

行?1行050??32??3?236?1??1．（例5）设A??

2015?3????16?4?14???求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式

?123???2．用初等变换求矩阵A??221?的逆矩阵

?343???3．（例13）设有线性方程组

?(1??)x1?x2?x3?0,??x1?(1??)x2?x3?3, ?x?x?(1??)x??,23?1问?取何值时，此方程组

第 3 页 共 9 页

（1）有唯一解； （2）无解；

（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．

第四章 向量组的线性相关性

基本概念

1．向量组的线性相关性

向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价 2．向量组的秩

极大线性无关组、向量组的秩 3．向量空间

向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法 向量组?1,?2,?,?m所生成的向量空间为

L(?1,?2,?,?m)?{k1?1?k2?2???km?m|k1,k2,?,km?R}

4．线性方程组解的结构

齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构 基本结论 1．线性表出

定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A?(?1,?2,?,?m)的秩等于矩阵

B?(?1,?2,?,?m,b)的秩．

定理2 向量组B:?1,?2,?,?l能由向量组A:?1,?2,?,?m线性表示的充分必要条件是矩阵

A?(?1,?2,?,?m)的秩等于矩阵(A,B)?(?1,?,?m,?1,?,?l)的秩. 即R(A)?R(A,B).

推论 向量组B:?1,?2,?,?l与向量组A:?1,?2,?,?m等价的充分必要条件是

R(A)?R(B)?R(A,B)

定理3 设向量组B:?1,?2,?,?l能由向量组A:?1,?2,?,?m线性表示，则

R(?1,?2,?,?l)?R(?1,?2,?,?m).

2． 向量组的线性相关性

定理4 向量组?1,?2,?,?m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?(?1,?2,?,?m)秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m

定理5 （1）若向量组A:?1,?2,?,?m线性相关，则向量组B:?1,?,?m,?m?1也线性相关． （2） m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关．

第 4 页 共 9 页