如图所示；
由条件可得：，
， 于是
；
又由“H”型图形的特征，得即于是
，解得，
，
，
为锐角．
其中锐角
所以当S取得最大值时，即
所以S的最大值为：
解析：
．
满足
．
；
过O作与M，连接OM，交CD于N，可得，
，再由矩形的面积公式可得S的表达式，即可得到
所求；
运用二倍角的正弦公式和余弦公式、以及两角和的正弦公式，运用反三角函数的性质，即可得到所求最大值．
本题考查三角形函数的应用题的解法，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的值域的运用，属于中档题．
，所以， 20.答案：解：由题意可得双曲线的左顶点
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所以双曲线的方程：
；
易知点A，B关于x轴对称，设
，
， 由A在双曲线上可得因为
，
因为此时所以
设
直线AP的方程为：令
，得
，
，
，
，
，
，故，即
时，，从而
． ，
，
，
，
，
最小时，圆D的方程
，则
同理可得
因为A，M在双曲线上，故所以
所以：为定值．
解析：由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得双曲线的左顶点的坐标，进而求出双曲线的方程；
由题意设A，B的坐标，可得数量积的表达式，当最小时求出r的值，即求出圆的方程；
设M的坐标，可得直线AP的方程，令，求出M的横坐标，同理求出N的横坐标，所以可得的值．
本题考查求双曲线的方程，及直线与双曲线的位置，及线段的乘积为定值的应用，属于中档题．
21.答案：解：解：
，
，均为正整数，
，
，
，
，5，9，13，17存在“关联数列”， 且其“关联数列”为11，10，9，8，7．
证明：数列存在“关联数列”
，，且
，
，
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，
，
解：当
时，
，，
，其中，，有
2，，
，
均为
，
．
正整数， 即当时，数列1，2049存在“关联数列”：2049，1，
的最小值为2．
2，一方面，由知：，，
，
，
，
另一方面，由数列
，
存在“关联数列”
， 知，
，
是2048的正约数，取2，，，，，
即m取3，5，9，17，33，65，，2049， 综上所述，m的最大值为33，
2，当时，可取，，，有：
符合
条件，
的最大值为33．
解析：求出，，，，，均为正整数，从而1，5，9，13，17存在“关联数列”，且其“关联数列”为11，10，9，8，7．
由数列存在“关联数列”，得到，，且，从而
，
从而m的最小值为
，由此能证明
，其中，由
，当，
2，
，
．
时，数列1，2049存在“关联数列”：2049，1，2，，，得
，推导出
，
，由数列存在“关联数列”知，取2，，，，，从而m取3，
5，9，17，33，65，，2049，由此能求出m的最大值为33．
本题考查关联数列的判断，考查数列不等式的证明，考查实数的最大值的求法，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
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