解得，
（5≤x≤20），P（t，
），
（2）①由（1）y=∴y′=﹣
，
∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）
，0），B（0，
），
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（∴f（t）=
=
，t∈[5，20]；
②设g（t）=t∈（5，10
，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，
）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）
＞0，g（t）是增函数， 从而t=10
时，函数g（t）有极小值也是最小值，
∴g（t）min=300， ∴f（t）min=15答：t=10
，
千米．
时，公路l的长度最短，最短长度为15
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为
，且右焦点F到左准线l的距离为3．
+
=1（a＞b＞0）
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．
第17页（共28页）
【分析】（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可得，e==且c+
=3，解得c=1，a=
， +y2=1；
，CP=3，不合题意；
，
则b=1，即有椭圆方程为（2）当AB⊥x轴，AB=
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0， 则x1+x2=
，x1x2=
，
则C（，），且|AB|=?=，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意； 则k≠0，故PC：y+
=﹣（x﹣
），P（﹣2，
），
从而|PC|=，
由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，
此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联
第18页（共28页）
立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．
19．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）． （1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值． 【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性； （2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣步转化为a＞0时，
﹣a+c＞0或a＜0时，
）=b（
）=
+b，则
+b）＜0，进一
﹣a+c＜0．设g（a）=
﹣a+c，利用条件即可求c的值． 【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b， ∴f′（x）=3x2+2ax， 令f′（x）=0，可得x=0或﹣
．
a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增； a＞0时，x∈（﹣∞，﹣f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣调递减；
a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣调递减；
（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣
第19页（共28页）
）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，
），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单
，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，
，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单
）=）＜0，
+b，
∴b＞0且∵b=c﹣a， ∴a＞0时，设g（a）=
+b＜0，
﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c，
﹣a+c＜0．
∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），
∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，
∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0， ∴c=1，
此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]， ∵函数有三个零点，
∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，
∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞）， 综上c=1．
【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．
20．（16分）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列． （1）证明：2
，2
，2
，2
依次构成等比数列；
（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由； （3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．
【分析】（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；
（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；
第20页（共28页）
相关推荐：
loading