知识点 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 空间几何体的表面积与体积 最新考纲 了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征． 了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义． 了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测法画出它们的直观图. 会计算柱、锥、台、球的表面积和体积. 了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理． 空间点、直线、平面之间的位置关系 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理． 判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 空间中的平行关系、垂直关系 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直； 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直． 性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； 垂直于同一个平面的两条直线平行； 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 1
空间角 理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 空间向量及其运算 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示． 了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义，坐标表示的运算. 立体几何中的向量方法 了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式． 了解直线的方向向量与平面的法向量． 了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法. 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 侧棱 侧面 形状 互相平行且相等 平行且相等 多边形 相交于一点， 但不一定相等 三角形 互相平行 延长线交 于一点 梯形 平行四边形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 全等的 矩形 相交于 一点 全等的 等腰三角形 于一点 全等的 等腰梯形 延长线交 轴截面 圆 2
侧面展开图 2.直观图 矩形 扇形 扇环 (1)画法：斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( ) (4)在正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× [教材衍化]
1．(必修2P19T2改编)下列说法正确的是( ) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
解析：选D.由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变． 2．(必修2P8A组T1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
3
答案：③⑤
3．(P15练习T1改编)已知如图所示的几何体，其俯视图正确的是________．(填序号)
解析：由俯视图定义易知选项③符合题意． 答案：③ [易错纠偏]
棱柱的概念不清致误.
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )
A．棱台 C．五棱柱
B．四棱柱 D．六棱柱
解析：选C.由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C.
空间几何体的结构特征
(1)下列说法正确的是( )
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 (2)以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
4
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
【解析】 (1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．
(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰，才得到是圆台的旋转体；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台．
【答案】 (1)B (2)B
空间几何体概念辨析问题的常用方法
1．给出下列命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； ②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体； ③长方体一定是正四棱柱． 其中正确的命题个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选A.①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．
2．下列说法正确的是( )
A．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
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