(理)第2讲 计数原理 二项式定理
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1．以实际生活为背景考查计数原理，排列与组合的简单应用，以客观题形式出现，难度中档．
2．考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题，以选择题的形式出现，难度低中档．
[真题体验]
1．(·全国Ⅰ卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)
2
解析：当有1位女生入选时，有C12C4＝12(种)， 1当有2位女生入选时，有C22C4＝4(种)，
由分类加法计数原理可得不同选法共有12＋4＝16(种)． 答案：16
2．(·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 C．24种
B．18种 D．36种
解析：D [只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份再全排得C2A34·3＝36.]
2
x2＋?5的展开式中x4的系数为( ) 3．(·全国Ⅲ卷)?x??
A．10 C．40
B．20 D．80
2k10－3kx2＋?5的第k＋1项为Tk＋1＝Ck解析：C [?.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为52xx??
2×22＝40.] C5
4．(·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( ) A．12 C．20
B．16 D．24
解析：A [本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．由
1
题意得x3的系数为C34＋2C4＝4＋8＝12，故选A.]
[主干整合]
1．排列与组合公式
n！
(1)Am＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. n
?n－m?！n?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Amnm
(2)Cn＝m＝＝. Amm！m！?n－m?！
mn
(3)Cn＝Cn
－m
mm1
；Cm. n＋1＝Cn＋Cn
－
n－m＋1m－1n－1nm
(4)Cn＝CmCmCn. n－1＝n－1＝mmn－m2．二项式定理
nrnrr1n1b＋…＋Cranrbr＋…＋Cnbn，二项展开式的通项T(1)(a＋b)n＝C0b. na＋Cnannr＋1＝Cnanr(2)在二项展开式中，Crn＝Cn(r＝0,1,2，…，n)． 0＋C1＋…＋Cn＝2n. (3)Cnnn
m1(4)相邻项的二项式系数的关系为Cm＝Cmn＋Cnn＋1.
－
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－
热点一 计数原理的简单应用
[题组突破]
1．(·石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．
解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．
答案：45；54
2．(·大连模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．
解析：分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12种； ②第一道工序不安排甲有1×2×4×3＝24种． ∴共有12＋24＝36种． 答案：36
3．(·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( )
1 2 3 4 A.9种 C．12种
B．18种 D．36种
解析：B [若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；
若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．]
(1)在应用分类加法计算原理和分步乘法计算原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
热点二 排列与组合的应用
数学 建模 素养 数学建模——排列组合问题中的核心素养 用排列组合解决实际问题的关键是排列组合模型，将实际问题抽象为数学问题，充分体现了“数学建模”的核心素养. [例1] (1)(·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育：“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )
A．120种 C．188种
B．156种 D．240种
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