25．（12分）（2014?仙桃）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题． 分析： （1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即
得解析式．
（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．
解答： 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，
∴，
解得 ，
∴y=﹣x2﹣x+2．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO， ∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP， ∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．
∵BQ=AP， ∴2﹣t=（2+t）， ∴t=．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
∵BQ=AP，
∴t﹣2=（2+t）， ∴t=6．
综上所述，t=或6时，BQ=AP．
（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3﹣3）． 分析如下： ∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中，
，
∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M（x，y）， ∴
，
时，抛物线上存在点M（﹣3，
解得 或 ，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ，
∴t2+2t﹣2=0，
∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，
则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ，
∴t2﹣6t﹣18=0，
∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．
综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．
点评： 本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法
求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．
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