附加题与参考答案
21．（本题满分20分）
B．（本小题满分10分，矩阵与变换）
?cos?在平面直角坐标系xOy中，设曲线C:xy?1在矩阵???sin?sin???(0???)对应的变换作用下得到曲?cos??2线F，且F的方程为x2?y2?a2 (a?0)，求?和a的值． ?cos?解析：设P(x0, y0)是曲线C上任意一点，P(x0, y0)在矩阵???sin?sin??对应的变换下变为：P?(x0?, y0?)； ?cos???cos?则有???sin??sin???x0??x0???x0??x0cos??y0sin????，∴；代入到x2?y2?a2中， ????cos???y0??y????0??y0???x0sin??y0cos?有：(x0cos??y0sin?)2?(?x0sin??y0cos?)2?a2，且x0y0?1；??????????? 5分
2222?y0)(cos2??sin2?)?4x0y0sin?cos??a2即(x0?y0)(cos2??sin2?)?4sin?cos??a2； 化简得：(x0∴cos2??sin2??0且a2?4sin?cos?，而??[0, )，a?0；
2∴????4，a?2．■?????????????????????????????? 10分
被扣分者：陈子慧?5、徐亚敏?10、王 倩?5、翟逸笑?5、潘倩玉?5、孙 琴?10、刘晓宇?5、季小淇?10、田景明?5、 许黄蓉?10、张慧雯?10、徐智雅?10、蒋沛清?10、黄河清?5、徐雨桐?5、贾 幼?5、武朝钦?5、曹伟?10、 陈 胜?10、王睿泽?5、贺文杰?5、卫世杰?10．共22人．（要订正5条）
C．（本小题满分10分，极坐标系与参数方程）
?x?t?5?x?cos?在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数）；圆C的参数方程是?
y??4?ty?sin???（?为参数），与直线l交于两个不同的点A、B，点P在圆C上运动，求?PAB面积的最大值． 解析：直线l的普通方程是：x?y?1?0，圆C的普通方程：x2?y2?1；
它们的交点分别为A(1, 0)、B(0, 1)；?????????????????????? 5分 设点P(cos?, sin?)(0???2?)，则点P到直线l的距离为：
d?cos??sin??12?2sin(??)?12?15?4，当??时，d取最大值；
422?而AB?2，∴当P为(?
222?1．■???????? 10分 , ?)时，S?PAB取最大值2229
22．（本题满分10分）
如图，PA?平面ABCD，AD//BC，?ABC?90?，AB?BC?PA?1，AD?3，E是PB的中点； （1）求证：AE?平面PBC；（2）求二面角B?PC?D的余弦值．
zPPEEDDAAyBBCxC
解析：（1）分别以???AB?、 ???AD?、 ???AP?
为x轴、y轴、z轴；建立如图所示的平面直角坐标系； 则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 3, 0)，P(0, 0, 1)，E(112, 0, 2)；
∴???AE??(1, 0, 1)，???BC??(0, 1, 0)，???BP??(?1, 0, 1)∵???AE?????2BC?2；
?0，???AE?????BP??0；∴???AE?????BC?，???AE?????BP?即AE?BC，AE?BP；
而BC、BP?平面PBC，且BC?BP?B；
∴AE?平面PBC．?????????????????????????? 4分
（2）设平面的法向量为：?n?(x, y, z)，而???CD??(?1, 2, 0)，???PD??(0, 3, ?1)；
则由????n??????CD?????0??x?2y?0?x?2yPD??0?；取y?1，则x?2，z?3即?n?(2, 1, 3)； ?n???3y?z?0???z?3y又由（1）AE?平面PBC，∴???AE?是平面PBC的法向量，而???AE??(112, 0, 2)；
?????13∴cos????AE?, ?n?????AE?n?0?257AE???n?，即???AE?与?5714?1?14n的夹角的余弦值为14； 2故由图形可知：二面角B?PC?D的余弦值为?5714．■ ???????? 10分 得满分者：共28人． 被扣分者：洪宇晨?5、杭 慧?5、石金鹏?5、翟逸笑?5、张楷文?5、刘正宇?5、李慧敏?5、郭大为?5、刘晓宇?5、焦晓佳?5；共10人．
10
23．（本题满分10分）
设正整数m、n满足1?n?m，F1，F2，F3，?，Fk为集合{1, 2, 3, ??? , m}的n元子集，且1?i?j?k； （1）若?a,b?Fk，满足a?b?1；
(i)求证：n?m?1；(ii)求满足条件的集合Fk的个数； 2m(m?1)．
n(n?1)（2）若Fi?Fj中至多有一个元素，求证：k?解析：（1）(i)本小题关键：写明白题设条件，用好题设条件． ．．．设Fk?{a1, a2, a3, ??? , an}，其中1?a1?a2?a3?????an?m， ∵a、b是正整数，∴a?b?1?a?b?2；
则有：a2?a1?2，a3?a2?2，a4?a3?2，?，an?an?1?2； 累加上述各式得：m?1?an?a1?2(n?1)，即n?(ii)本小题关键：读懂题设条件，用好等价转化． ．．m?1．?????????? 3分 2由题设可知：“任意两个元素之差的绝对值大于1”?“子集中没有数值相邻的元素”； 于是原题转化为：“从m个元素中，任取n个元素，其中任意两个元素都不是相邻整数， 有多少种取法？”
下面采用“插空重组法”求出Fk的个数．具体操作是：S1 插空 S2 重新编号． 第一步：先取出n个元素，后将剩下的m?n个元素排成一列，各元素之间，包括两端，一共
有m?n?1空档，再将n个元素放回这m?n?1空档中．
第二步：记着放回的元素，它们都不相邻，重新进行编号；回放的元素相当于取的新号元素． 计 数：上述不同的放法，对应不同的一组新号，这些新号一定不相邻；这种放回的种数就是
n所求的Fk的个数；由排列组合知识可得：共有Cm?n?1个．
n故满足条件的Fk的个数是Cm?n?1．???????????????????? 6分
（2）本小题关键：读懂题设条件，用好反证法． ．．由题设知：集合Fi(i?1, 2, 3, ??? , k)是n元子集，Fi?Fj(1?i?j?k)没有相同的二元子集； 否则与“至多有一个元素”矛盾；
2而每一个Fi的二元子集的个数为Cn，其中i?1, 2, 3, ??? , k，
则所有的Fi的二元子集的个数不超过kCn2，
2又对于全集{1, 2, 3, ??? , m}来说，所有的二元子集的个数是Cm，
2Cmm(m?1)故kC?C?k?2?k?．■ ????????????????? 10分
n(n?1)Cn2n2m得2分者：王宇嘉、王亚丽、杭 慧、潘倩玉；共4人． 得1分者：季小淇、王小雨、陆冰冰、陈 胜、李慧敏、徐亚敏、曹 伟、卢稷楠、吴 桐、贺文杰、窦慧星、徐雨桐；共12人．
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