考点： 抽象函数及其应用． 专题： 函数的性质及应用．
22
分析： （1）利用反证法，假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）=Tx对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论．
（2）将﹣3＜x＜﹣2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式 解答： （1）证明：假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）=Tx对任意的x恒成立，
22
即（1﹣T）x+2Tx+T=0对任意的x恒成立．
2
2
∴．
∴T∈?．
2
假设错误，所以f（x）=x不属于集合M． （2）∵﹣3＜x＜﹣2， ∴1＜x+4＜2，
∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），
∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立， ∴令T=2，
∴f（x+4）=f=2f（x+2）=4f（x）， ∴f（x）=，
∴当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式是f（x）=．
点评： 本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．属于中档题
x
19．（2011秋?苏州期末）已知函数f（x）=log2（4+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值； （2）设函数
，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有
且只有一个交点，求a的取值范围． 考点： 函数与方程的综合运用；偶函数． 专题： 计算题．
x
分析： （1）由已知中函数f（x）=log2（4+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
x
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4+1）﹣x=
在（
，+∞）有且只有一解，即方程
在
上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可
得到a的取值范围．
x
解答： 解：（1）∵函数f（x）=log2（4+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（﹣x）=log2（4+1）﹣kx=f（x）=log2（4+1）+kx恒成立
xx
即log2（4+1）﹣2x﹣kx=log2（4+1）+kx恒成立 解得k=﹣1 （2）∵a＞0 ∴函数即满足
的定义域为（
，+∞）
﹣xx
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点， ∴方程log2（4+1）﹣x=
x
在（，+∞）有且只有一解
即：方程
x
在上只有一解
令2=t，则上只有一解 当a=1时，解得
，因而等价于关于t的方程（*）在
，不合题意；
，其图象的对称轴
在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1
无解
，其图象的对称轴
，即
，此恒成立
当0＜a＜1时，记∴函数∴方程（*）在当a＞1时，记所以，只需
∴此时a的范围为a＞1
综上所述，所求a的取值范围为a＞1． 点评： 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．
2
20．（16分）（2014?咸阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴． （1）确定a与b的关系；
（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：
．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明． 专题： 导数的综合应用．
分析： （1）利用导数的几何意义即可得出； （2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；
（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令
（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；
证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得
出； 证法三：：令
，同理，令
，通过求导即可证明；
证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．
解答： 解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax+bx，则
2
，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0， ∴b=﹣2a﹣1． （2）由（1）得
=
．
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，
由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减； 当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或若
，即
，
，
时，由g'（x）＞0得x＞1或
，（1，+∞）上单调递增，在时，由g'（x）＞0得
，由g'（x）＜0得
单调递减；
，
即函数g（x）在若
，即
或0＜x＜1，由g'（x）＜0得
单调递减；
，
即函数g（x）在（0，1），若
，即
上单调递增，在
时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减； 当
时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在
单调递减；在
上单调递增； 当当
时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， 时，函数g（x）在
上单调递增，在
单调递减；在（1，+∞）
上单调递增．
（3）证法一：依题意得，
证，即证
，因x2﹣x1＞0，即证
，
令（t＞1），即证（t＞1）①，
令
单调递增，
（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上
∴h（t）＞h（1）=0，即综合①②得
（t＞1）② （t＞1），即
．
证法二：依题意得，
令h（x）=lnx﹣kx，则由h'（x）=0得∴h（x）在∴证法三：令
，即
，当
，
时，h'（x）＜0，当
时，h'（x）＞0，
单调递减，又h（x1）=h（x2），
单调递增，在
． ，则
，
当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减， ∴当x2＞x1时，
，即
；
同理，令，可证得．
证法四：依题意得，
令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h
（x）在（x1，+∞）单调递增，
∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1 令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则
，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m
（x）在（0，x2）单调递减，
∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1； 所以命题得证．
点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．
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