数学中考专题复习:圆的综合题
1．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=
25，tan∠AEC=，求圆的直径． 33
2. 如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 1. (1)证明：连接OC,
∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．
(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5?x)2?(6?x)2?25，化简得：
x2?11x?18?0
解得x?2或x?9。由AD 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6. 3．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当PA的长度等于 ▲ 时，∠PAB＝60°； 当PA的长度等于 ▲ 时，△PAD是等腰三角形； (2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴， 建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b）， 第 1 页 共 6 页 试求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值． 4、 第 2 页 共 6 页 5． 如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点． 3（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求 2BC的长． 第 3 页 共 6 页 6．（如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线. （证明：连结DO，∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE， 又∵OD⊥BC，∴OD⊥DE，故DE是⊙O的切线） 7．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于 1点D，?BOE?60°，cosC?，BC?23． 2M E （1）求?A的度数； D （2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求MD的长度． A O 1（解：（1）∵∠BOE=60° ∴∠A ＝∠BOE ＝ 30° 21 （2）在△ABC中 ∵cosC? ∴∠C=60°…1分 又∵∠A ＝30° 2 ∴∠ABC=90°∴AB?BC……2分 ∴BC是⊙O的切线 （3）∵点M是AE的中点 ∴OM⊥AE 在Rt△ABC中 ∵BC?23 ∴ 22C B AB=BCtan60??23?3?6 ∴OA=3MD=） 23AB1?3 ∴OD=OA? ∴ 222 8.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC， ∠COB=2∠PCB. 1 （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：BC=2AB； 第 4 页 共 6 页 （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值. 解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 （2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ∴∠CBO=∠COB 1 ∴BC=OC ∴BC=2AB (3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点 ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ∴BM=MC·MN ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM 2 ∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC·MN=BM=8 BMMN? ∴MCBM2 9.．（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，?ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F， (1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF= 3?1，求证△DCE≌△OCB． B 2F O D C 第6题图 解：(1)∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC, ∴△AOC是正三角形． 又∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°． 而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形． A (2)证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2?1=3． OF= 22E3?13?1,∴AF=AO+OF=． 22又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1． ∴CE=AE-AC=3=BC． 而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE≌△COB. 10、如图14，直线AB经过 O上的点C，并且OA?OB，CA?CB，O交直线OB于 E，D，连接EC，CD． （1）求证：直线AB是O的切线； （2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； 1（3）若tan?CED?，O的半径为3，求OA的长． 2（1）证明：如图3，连接OC． OA?OB，CA?CB，?OC?AB． ?AB是O的切线． （2）BC?BDBE． 2ED是直径，??ECD?90． ??E??EDC?90． 第 5 页 共 6 页
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