【精编试卷】(必考题)最新高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练11 直线与圆 理

8＋6分项练11 直线与圆

1．(2018·襄阳调研)已知点P(1,2)和圆C：x＋y＋kx＋2y＋k＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是( ) A．R

23??

B.?－∞，?

3??

2

2

2

?2323?

C.?－，?

3??3

答案 C

?23?

D.?－，0? ?3?

32?k?22

解析 圆C：?x＋?＋(y＋1)＝1－k，

4?2?因为过P 有两条切线，

1＋4＋k＋4＋k>0，??

所以P在圆外，从而?32

1－k>0，??42323

解得－

33

2．(2018·贵州省遵义航天高级中学模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|＋|MQ|的值为( )

2

2

2

A.

10

B.10 C．5 D．10 2

答案 D

解析 ∵在平面内，过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0相交于点

M，

∴P(0,1)，Q(－3,0)，

∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直， ∴M位于以PQ为直径的圆上， ∵|PQ|＝9＋1＝10， ∴|MP|＋|MQ|＝10.

2

2

3．(2018·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)若圆O1：x＋y＝5与圆O2：(x＋m)＋y＝

2

2

2

2

20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( ) A．3 B．4 C．23 D．8 答案 B

1

解析 由题意可知，O1(0,0)，O2(－m,0)， 根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得5<|m|<35. 再根据题意可得O1A⊥AO2， ∴m＝5＋20＝25，∴m＝±5， |AB|∴利用·5＝25×5＝10，

2解得|AB|＝4.

4．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B的距离之比为2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( ) 222

A．22 B.2 C. D.

33答案 A

解析 以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，

2

则A(1,0)，B(－1，0)， 设P(x，y)， 则 ?x－1?＋y22

2，化简得(x＋3)＋y＝8， 22＝

?x＋1?＋y22当点P到AB(x轴)距离最大时，

△PAB的面积取得最大值，由圆的性质可得， 1

△PAB面积的最大值为×2×22＝22.

2

5．已知点Q(－1，m)，P是圆C：(x－a)＋(y－2a＋4)＝4上任意一点，若线段PQ的中点

2

2

M的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝1，则m的值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4 答案 D

解析 设P(x，y)，PQ的中点为M(x0，y0)，

2

x－1x＝??2，

则由中点坐标公式得?y＋my＝??2.

002

2

2

因为点M(x0，y0)在圆x＋(y－1)＝1上， 所以?

?x－1?2＋?y＋m－1?2＝1，

????2??2?

2

2

即(x－1)＋(y＋m－2)＝4.

将此方程与方程(x－a)＋(y－2a＋4)＝4

2

?a＝1，比较可得?

?2a－4＝－(m－2)，

解得m＝4.

6．(2018·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x＋y＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的斜率的取值范围是( ) A．[2－3，2＋3] C．[－2－3，2＋3] 答案 B

解析 圆x＋y＋4x－4y－10＝0可化为(x＋2)＋(y－2)＝18，则圆心为(－2,2)，半径为

2

2

2

2

22

B．[－2－3，3－2] D．[－2－3，2－3]

32，

则由圆x＋y＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22可得，

圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤32－22＝2， 即

2

2

|－2a＋2b|

a2＋b2

2

2

≤2，

则a＋b－4ab≤0，若b＝0，则a＝0，故不成立， 故b≠0，则上式可化为1＋??－4×??≤0. 由直线l的斜率k＝－， 可知上式可化为k＋4k＋1≤0， 解得－2－3≤k≤－2＋3.

7．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x＋

2

2

?a?2?b??a??b?

ab 3

y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )

A.5 B．5 C．25 D．10 答案 B

解析 由直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M的周长， 可知直线必过圆M的圆心，

由圆的方程可得圆M的圆心坐标为(－2，－1)， 代入直线方程ax＋by＋1＝0可得2a＋b－1＝0，

又由(a－2)＋(b－2)表示点(2,2)与直线2a＋b－1＝0上的任一点的距离的平方， 由点到直线的距离公式得d＝

2

2

|2×2＋2－1|

5

2

＝5，

所以(a－2)＋(b－2)的最小值为d＝(5)＝5.

2

2

2

8．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆→→→

上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( ) A．3 B．22 C.5 D．2 答案 A

解析 以A为坐标原点，分别以AD，AB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，

则C点坐标为(2,1)．

设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD. ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝1＋2＝5，

22BC·CD225EC＝＝＝，

BD55

25即圆C的半径为，

5

422

∴P点的轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝.

5

4