2018-2019学年湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校高二下学期期末联考数学(文)试题含解析

（1）求动点G的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,1)作直线L与曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB中点恰好为Q.求?OAB的面积；

【解析】（1）由动点G(x,y)满足(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4可知，动点G的轨迹是以（－1，0）和（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为

x2y2??1……………4分 43（2）由于直线L与曲线C相交所得线段AB中点恰好为Q（1，1）可知，直线L

?x2y2?的斜率一定存在，设直线L的方程为y-1=k(x-1)，联立?4?3?1，消去y

??y?1?k(x?1)可

得

(4k2?3)x2?(8k2?8k)x?(4k2?8k?8)?0，所以

?8k2?8kx?x???124k2?3，……………………6分 ?2?x1x2?4k?8k?8?4k2?3?8k2?8k?2，解得又线段AB中点的横坐标为1，?x1?x2?24k?33k??，……………………7分

4?x1?x2?2???1，……………………8分

xx?12?21?直线L的方程为3x+4y-7=0,……………………9分 弦长|AB|?(1?915105)(4?4?)?……………………10分 1621217

，……………………11分 5

原点到直线L的距离为d?

?S?ABC?151057105???……………………12分 2215622.?本题12分?已知f(x)?ex?sinx(1)求函数f(x)在?0，??的极值.（2）证明：g?x??f?x?????ln(x?1)在，????有且仅有一个零点.xe?2?

???【解析】(1)f?(x)?ex?sinx?ex?cosx?ex(sinx?cosx)?2exsin?x????2分4??33令f?(x)?0得x?k???,又x??0,??故x????3分443令f?(x)?0得0?x??,4

3令f?(x)?0得??x??,??4分4?3??3??f(x)在?0，??递增，在??，??递减，?4??4?故f(x)极大值?3234?f(?)?e,无极小值.??6分42（2）当x∈（，π）时，cosx＜0，﹣

）＝1﹣ln（1+

＜0，于是f′（x）＝cosx﹣＜0，f（x）单

调递减，其中f（）＞1﹣ln（1+）＝1﹣ln2.6＞1﹣lne＝0，

f（π）＝﹣ln（1+π）＜﹣ln3＜0． 由函数零点存在性定理可知，f（x）在（

，π）上有且只有一个零点x1.………9分

当x∈[π，+∞）时，f（x）＝sinx﹣ln（1+x）＜1﹣ln（1+π）＜1﹣ln3＜0，因此函数f（x）在[π，+∞）上无零点．……………11分 综上，f（x）有且仅有1个零点．……………12分