【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、双空题
22a?114．已知a,b均为正数，且a?b?1，则当a?_____时，代数式?2的最小值
ab为_______. 【答案】3?1 23 222222a2??a?b?2a?13a?b【解析】变换，利用均值不等式计算得到?2??2?ababab答案. 【详解】
2a2??a?b?2a2?13a2?b223ab?2??2???23， abababab当3a2?b2，即a?23?13?3，b?时等号成立.
22故答案为：【点睛】
3?1；23. 2本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换
2a?1?2?ab
四、解答题
22a2??a?b?ab2?2是解题的关键.
1c，cosA??. b?c?2，15．在?ABC中，内角A，C所对的边分别为a，a?8，B，b，
4第 9 页 共 17 页
（1）求sinB的值； （2）求cos(2A??6)的值.
【答案】（1）
15?73. 315；（2）16161【解析】（1）由cosA??，可得sinA的值，由余弦定理及已知即可解得b,c的值，
4由正弦定理即可得解sinB的值；
（2）由倍角公式及（1）可求cos2A,sin2A的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值. 【详解】
115（1）Q由cosA??，可得sinA?，
44?64?b2?c2?2bccosA?b?6?由?，可得：?，
c?4??b?c?2?由
ba315?得sinB?；
16sinBsinA715（2）Qcos2A?2cos2A?1??,sin2A?2sinAcosA??，
8873?15?1?cos(2A?)?cos2Acos?sin2Asin?????????266682?8??????15?73.
16【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基础题.
16．某地有A、B、C、D四人先后感染了新冠状病毒，其中只有A到过疫区. （1）如果B、C、D受到A感染的概率分别为感染新冠状病毒的概率是多少？
（2）若B肯定受A感染，对于C，因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是
1，那么B、C、D三人中恰好有一人211，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是，在这23种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.
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113 【答案】（1）；（2）分布列见解析，E?X??86【解析】（1）直接计算概率得到答案.
（2）X的可能取值为1,2,3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】
1?31?1??（1）p?C3?????1???. ?2??2?8（2）根据题意：X的可能取值为1,2,3. 则p?X?1??故分布列为：
212112111111??；p?X?2??????；p?X?3????. 23323232236X p
1 1 32 1 23 1 611111E?X??1??2??3??.
3266【点睛】
本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17．如图所示，直角梯形ABCD中，AD//BC，AD?AB,AB?BC?2AD?2,四边形EDCF为矩形，DE?2，平面EDCF?ABCD.
（1）求证：DF//平面ABE；
（2）求二面角B?EF?D二面角的正弦值；
（3）在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF所成角的正弦值为若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.
6，6第 11 页 共 17 页
【答案】（1）证明见解析；（2）
22；（3）存在，BP?3或BP? 33uuuruuuruuur【解析】（1）以DA,DG,DE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，DF?AE?AB，得到证明.
urur（2）平面DEF的一个法向量为n1??2,1,0?，平面BEF的一个法向量为n1??2,1,2?，
计算夹角得到答案.
（3）假设存在点P满足条件，设BP??BE，设线AP与平面BEF所成角为?，
uuuruuuruuuruurAP?n2cos??uuuruur，解得答案.
AP?n2【详解】
（1）取BC中点G，连接DG，易知DA?DG，
平面EDCF?ABCD，四边形EDCF为矩形，故ED?平面ABCD. 以DA,DG,DE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则D?0,0,0?，F??1,2,2?，A?1,0,0?，B?1,2,0?，C??1,2,0?，E?0,0,2?.
uuuruuuruuuruuuruuuruuurDF???1,2,2?，AE???1,0,2?，AB??0,2,0?，故DF?AE?AB，
故DF//平面ABE.
uvuuuvur?n?DE?0?1uvuuuv（2）设平面DEF的一个法向量为n1??x,y,z?，则?，即n?DF?0??12z?0?， ??x?2y?2z?0?ur取y?1，则n1??2,1,0?.
uuvuuuvuur???x?2y?0?n2?EF?0uuvuuuvn?a,b,c设平面BEF的一个法向量为2?，即?， ?，则???x?2y?2z?0?n2?EB?0ur取y?1，则n1??2,1,2?.
uruururuurn1?n252cosn,n??uruur则，故二面角B?EF?D二面角的正弦值为. 123n1?n23（3）假设存在点P满足条件，设BP??BE，则P?1??,2?2?,2??，
uuuruuuruuururAP????,2?2?,2??，n1??2,1,2?，设线AP与平面BEF所成角为?，
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