答案：A
12．(2019· 汕头月考)已知“整数对”按如下规律排成一列：(0,0)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，…，则第222个“整数对”是( )
A．(10,10) C．(11,9)
B．(10,9) D．(9,10)
解析：观察可知“整数对”中和为n的共有n＋1个， ?n＋1??n＋2?由1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝，
2当n＝19时，
?19＋1??19＋2?
＝210，
2
∴第222个整数对是和为20的一组中的第12个数， ∴第222个“整数对”是(11,9)，故选C. 答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
149162536
13．猜想数列3，－5，7，－9，11，－13，…的通项公式an＝________. 1
解析：a1＝3＝1
，
1×2＋1
422
a2＝－5＝－，
2×2＋1932a3＝7＝，
2×3＋11642
a4＝－＝－，
92×4＋1?－1?n＋1n2
猜想an＝. 2n＋1?－1?n＋1n2
答案：
2n＋1
14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿
墙术”：223＝ 223，38n＝ 223＝
38＝ 338，4415＝ 4415，5524＝ 5524，
则按照以上规律，若8
解析：23438＝ 415＝
23＝ 338＝ 4415＝
8
8n具有“穿墙术”，则n＝________. 23， 1×3
33， 2×443， 3×5
…， 88n＝
88n＝
83， 7×9
∴n＝63. 答案：63
15.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表(每行比上一行多一个数)：
设ai，j(i、j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4,2＝8，则a51,25为________．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50×?1＋50?
解析：由题意得，第50行的最后一个数为1＋2＋3＋…＋50＝＝
21 275，第51行的第25个数为1 275＋25＝1 300.
答案：1 300
16．(2019·杭高期末)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，→→＋PC→|的最大值为________． 若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB
解析：由AB⊥BC可知AC为直径， →→＝2PO→＝(－4,0)，
从而PA＋PC
→＝(cos θ－2，sin θ)， 设B(cos θ，sin θ)，则PB
→→→→→|PA＋PB＋PC|＝|2PO＋PB|
＝?－6＋cos θ?2＋sin2θ＝37－12cos θ，
→→＋PC→|的最大值为7.
当θ＝2kπ＋π，k∈Z时，|PA＋PB答案：7
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
?π?1＋tan x17．(10分)(1)证明：tan?x＋4?＝；
??1－tan x(2)设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a)＝明你的结论．
1＋tan x?π?
解：(1)证明：tan?x＋4?＝π＝1－tan x. ??
1－tan xtan4(2)由(1)类比可猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
1＋f?x?1－f?x?1＋f?x＋a?1
证明如下：f(x＋2a)＝f(x＋a＋a)＝＝＝－.
f?x?1－f?x＋a?1＋f?x?
1－1－f?x?
1＋
1
∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝－＝f(x)，
f?x＋2a?∴f(x)是以4a为周期的周期函数．
18．(12分)(2019·邵东一中月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得， an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，
π
tan x＋tan4
1＋f?x?
，f(x)是否是周期函数；并证1－f?x?
可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1， 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列； a2n－1＝1＋(n－1)·4＝4n－3；
{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列， a2n＝3＋(n－1)·4＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.
因此存在λ＝4，使得{an}为等差数列．
19．(12分)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.证明：
(1)l1与l2相交；
(2)l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，又k1k2＋2＝0，
2∴k1＋2＝0，这与k1为实数相矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
?y＝k1x＋1，(2)由?
?y＝k2x－1，
2
?x＝
?k2－k1，
得交点P的坐标(x，y)为?k2＋k1
y＝??k2－k1.
从而2x2＋y2＝
?2??k2＋k1?2
?＝ 2?k－k?2＋?
?21??k2－k1?
2
k21＋k2＋4
＝1.即点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上． 22
k1＋k2＋4
20．(12分)已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
1
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于2. 证明：(1)∵f(x)＝x2＋px＋q，
∴f(1)＝1＋p＋q，f(2)＝4＋2p＋q，f(3)＝9＋3p＋q. ∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)
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