1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：M?jij?(?1)iAi?jijAij?(?1)Mij
4. 设n行列式D：
n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D21，则D1?(?1)D；
n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D22，则D2?(?1)D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积；
n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2； ⑤、拉普拉斯展开式：
AOCCB?AOB?AB、
CABO?OAnBC?(?1)m?AB
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
n6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??n??(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解；
④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关；
?齐次方程组Ax?0有非零解；
??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；
1
?ATA是正定矩阵； ?A?A的行（列）向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵；
*?1T2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A)?(A)TT?1*(A)?1T*?(A)**T?1(A)*T?(A)?1T*
?1(AB)?BA(AB)?BA(AB)?B?1A
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
若
?A1?A?????A2??????As?，则：
Ⅰ、A?A1A2?As；
?A1?1???????O??B?A??O?C??B?O??B??1Ⅱ、A?1A2?1???????1As??；
?A②、??O?O③、??B?A④、??O?A⑤、??C?A?1???O?O???1?A?A?1???OO?；（主对角分块） ?1?B?B??；（副对角分块） O??1?1?1?1?1?ACBB?1??；（拉普拉斯） ??1?1?A???1?1??BCAO??1?B?；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F???Er?OO?； ?O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且Xr?A?1；
c②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；
r③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?Ab?1；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
2
??1?②、???????2????，左乘矩阵A???n?，?i乘A的各行元素；右乘，?i乘A的各列元素；
③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1???E(i,j)，例如：1???1???1???1???1????11???1??；
④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1?11??E(i())，例如：?k??k???1???1??????1k???(k?0)?1??；
⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?15. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
?1??E(ij(?k))，如：???1k???1???1?1?????1?k??(k?0)?1??；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AXⅡ、r(A)?r(B)?n
?0?0，则：（※）
解（转置运算后的结论）；
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1?②、型如?0?0?a10c??b?1??的矩阵：利用二项展开式；
n
二项展开式：(a?b)n?Ca?Ca0nn1nn?1b???Ca1mnn?mbm???Cn?1nab1n?1?Cb?nnn?Cm?0mnabmn?m；
注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；
?n(n?1)??(n?m?1)1?2?3???mmnⅡ、Cnm?n!m!(n?m)!Cmn?1Cn?Cn?1
n0nⅢ、组合的性质：C?Cn?mn?Cmn?Cm?1n ?Cr?0rn?2nrCn?nCn?1rr?1；
③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1r(A)?n?1；
3
②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A?AA???AX?*?1*A?X)；
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；
10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?????ax?ax???a2nxn?b2???①、?211222?????????????ax?ax???ax?bm22nmnn?m11?a11?a②、?21????am1a12a22?am2????a1n????a2n???????amn??；
x1??b1????x2b2?????Ax?b????????xm??bm?（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）
③、?a1a2???an?????x1??x2??????xn??b1?b（全部按列分块，其中???2????bn??????）；
④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；
?????????1T?T?2TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B?????T???m；
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
?Ax?b是否有解；（线性方程组） ②、向量的线性表出
?AX?B是否有解；（矩阵方程） ③、向量组的相互线性表示
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14) 4. 5.
r(AA)?r(A)T；(P101例15)
n维向量线性相关的几何意义：
???0； ①、?线性相关
②、?,?线性相关
??,?坐标成比例或共线（平行）；
4
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