2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含解析)

【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在

（2）令a1?d?a，则a1，a2，a3，a4分别为a?d，a，a?d，a?2d（a?d，a??2d，d?0）． 假设存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列， 则a4??a?d??a?d?，且?a?d??a2?a?2d?． 令t?364234d1364，则1??1?t??1?t?，且?1?t???1?2t?（??t?1，t?0）， a2化简得t3?2t2?2?0（?），且t2?t?1．将t2?t?1代入（?）式，

1t?t?1??2?t?1??2?t2?3t?t?1?3t?4t?1?0，则t??．

41显然t??不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

4因此不存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列． （3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2n则a1?a1?2d?n?2knn?k234，a3n?2k，a4n?3k依次构成等比数列，

2?n?2k???a1?d?2?n?k?，且?a1?d?n?k?a1?3d?n?3k??a1?2d?．

分别在两个等式的两边同除以a1?则?1?2t?n?2k2n?k?及a1?n?k2n?2k?，并令t?n?3kd1（t??，t?0）， a132?n?2k???1?t?2?n?k?，且?1?t??1?3t???1?2t?．

将上述两个等式两边取对数，得?n?2k?ln?1?2t??2?n?k?ln?1?t?， 且?n?k?ln?1?t???n?3k?ln?1?3t??2?n?2k?ln?1?2t?． 化简得2k??ln?1?2t??ln?1?t????n??2ln?1?t??ln?1?2t???， 且3k??ln?1?3t??ln?1?t????n??3ln?1?t??ln?1?3t???．

再将这两式相除，化简得ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t??4ln?1?3t?ln?1?t?（??）． 令g?t??4ln?1?3t?ln?1?t??ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t?，

2222??1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t???． 则g??t????1?t??1?2t??1?3t?令??t???1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t?， 则???t??6???1?3t?ln?1?3t??2?1?2t?ln?1?2t???1?t?ln?1?t???．

222??t??6?令?1?t?????t?，则?1?3ln?1?3t??4ln?1?2t??ln?1?t???．

??t????t?，则?2令?2?t???112?0?1?t??1?2t??1?3t?．

??t??0， 由g?0????0???1?0???2?0??0，?2知?2?t?，?1?t?，??t?，g?t?在??,0?和?0,???上均单调．

故g?t?只有唯一零点t?0，即方程（??）只有唯一解t?0，故假设不成立． 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2nn?k?1?3??，a3n?2k，a4n?3k依次构成等比数列．

考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程

附加题

21.A（选修4—1：几何证明选讲）

如图，在?ABC中，AB?AC，?ABC的外接圆圆O的弦AE交BC于点D

求证：?ABD∽?AEB

A

O B D E C （第21——A题）

【答案】详见解析

考点：三角形相似

21.B（选修4—2：矩阵与变换） 已知x,y?R，向量???个特征值. 【答案】???【解析】

试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组，再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值

?x1??1?A?是矩阵的属性特征值?2的一个特征向量，矩阵A以及它的另一?????1??y0???11?,另一个特征值为1． ??20??x1??1??x?1???2?试题解析：由已知，得????2?，即????1???y???2?，

y0????????rr?x?1??2?x??1??11?则?，即?，所以矩阵????．

y?2y?220????从而矩阵?的特征多项式f???????2????1?，所以矩阵?的另一个特征值为1．

考点：矩阵运算，特征值与特征向量 21.C（选修4—4：坐标系与参数方程） 已知圆C的极坐标方程为?2?22?sin(??【答案】6

?4)?4?0，求圆C的半径.

考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化 21.D（选修4—5：不等式选讲） 解不等式x?|2x?3|?3 【答案】?xx??5或x???

??1?3?【解析】

试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可

33???x???x??2或?2． 试题解析：原不等式可化为????x?3?2??3x?3?2解得x??5或x??．

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