线性代数(本)习题册行列式 - 习题详解(修改)(加批注)

n??11i?1x011?i解：原式=

0x10?000x2?0 ????000?xn =n?x11x2?xn(?).

i?1xi四、证明题

1111.设a,b,c是互异的实数，证明abc?0的充分必要条件a3b3c3是a+b+c=0.

111100证明：abc?ab?ac?a

a3b3c3a3b3?a3c3?a3 =

b?ac?ab3?a3c3?a3

=(b?a)(c?a)11b2?ab?a2c2?ac?a2

=(b?a)(c?a)(c2?b2?ac?ab) =(b?a)(c?a)(c?b)(a?b?c)=0,

由于a,b,c是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.

abcd2.证明aa+ba?b?ca?b?c?d?a4a2a?b3a?2b?c4a?3b?2c?d

a3a?b6a?3b?c10a?6b?3c?drabcd4?r3证明：左边rr0aa?ba?b?c3?2r0a2a?b3a?2b?c

2?r10a3a?b6a?3b?cabcdabcdr4?r30aa?ba?b?c0aa?ba?b?cr3?r2100a2a?br4?r300a2a?b?a400a3a?b000a=右边

克莱姆法则

一、选择题

??x1?x2?x3?1, 1．方程组??x1??x2?x3?1,, 有唯一解,则( ).

??x1?x2??x3?1 (A)???1且???2； (B) ??1且???2；(C) ??1且??2； (D) ???1且??2．

?11解析：由克莱姆法则，当1?1?(2??)(??1)2?0，即

11???1且???2，选B.

?ax?z?2.当a?（ ）时，方程组?0,?2x?ax?z?0,只有零解.

??ax?2y?z?0(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，

a01001当2a1?2?aa1?2(a?2)?0

a?210?21即a?2，选D.

三、解答题

1.用克莱姆法则下列解方程组.

?x?2y?z?2(1)?,?x?2y?2z?3, ??2x?y?z?3;12?1解： D?1?22?3?0， 2?11由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，

22?1D1?3?22?3， 3?11

12?1122D2?132?6，D3?133?9，

231233因此方程组的解为

x?D1DDD?1,y?2D?2，z?3D?3.

??x1?2x2?x3?x4?1,(2)??2x1?3x2?x3?2x4?3,?3x.. ?x12?2x3?x4?2,??2x1?4x2?3x3?3x4?2121?1解：D?23?121321?4?0

243?3由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，

121?1111?1D33?1223?121?2321?8， D2?1221??2,

243?3223?3121?11211D33223?133?21321?2,D4?1322?2.

242?32432因此方程组的解为

xD1?2,xD1D1?D2，x1D12?2??3?3D?2,x4D4?D?2.?2x1?2x22.判断线性方程组??x3?0,?x1?2x2?4x3?0,是否有非零解

??5x1?8x2?2x3?022?11?24解：因为系数行列式D?1?24??22?1 58?258?2 1?241?24=?06?9?06?9??30?0, 018?22005所以，方程组只有零解.

?x1?kx2?x3?0,3.已知齐次线性方程组? ?kx1?x2?x3?0,有非零解，求k的值.

??2x1?x2?x3?0解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式

必为零，即

1k?11k?1k11?01?k21?k

2?110?1?2k3=3(1?k2)?(1?k)(1?2k) =(1?k)(4?k)?0 解得，k=-1或k=4.

?2x1?4x2?(??1)x3?04.当?取何值时，齐次线性方程组??(??3)x1?x2?2x3?0有非

???x1?(1??)x2?x3?0零解

解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，

24??1??31?2?0,解得??0,2,3. ?11???1

第一章综合练习

一、判断题

1. n阶行列式Dn中的n最小为2.( ╳ )

2. 在n阶行列式D?aij中元素aij(i,j?1,2,L)均为整数，则D必为整数.( √ )