微积分及其应用第二章习题解答

?lim(ax?1x?1?x?12) ?lim?x?1?x?1??,a?x?1?x?1?2?

a22

解得a?42,b?4. （6）由于lim(x?1)?0,.

x??15 根据等价无穷小关系确定参数.

（1）当x?0时，a(1?cos2x)~x2，求a. （2）当x（3）当x（4）当x?0?0?0时，x~ln(1?kx)，求k.

时，1?tanx?1?sinx~1x?，求?.

4时，2sinx?sin2x~xk，求k.

?0解 （1）由于x时，1?cos2x?sin2x~x2故a?1.

(2) 当x?0,ln(1?x)~x, k?1. (3) 当x?0时,

lim1?tanx?1?sinxxlimlimlim3x?0?limtanx?sinxx?0?231?tanx?1?sinxx?3???121616tanx?sinxx233x?0?1612limsecx?cosx3xx22x?0

1?cosxxcosx22x?0?lim?141?cosxx?03cosxsinx2xx?0,故??3. (4) 当x?0时,

lim??2sinx?sin2xxlimlimx?03x?0?lim2cosx?2cos2x3x2x?02313?sinx?2sin2x2x?sinxx?43limsin2x2xx?0

x?0?1,故 k?3. 习题2.4

1利用函数连续性确定参数.

（1）

1??arctanf(x)??x?A?x?0在x?0x?0处连续，求A.

?sin2x,x?0,?（2）已知函数f(x)??连续，求参数k. x?3x2?2x?k,x?0?（3）

?eax?2af(x)???ax?3cos2xx?0x?0在(??,??)上连续，求a.

?1?cosax?sin2bx,x?0,?（4）已知函数f(x)??a,x?0,连续，求参数a, b.

?1?(1?4x)x,x?0?解 (1) 要使f(x)在x?0处连续，则f(0?0)?f(0?0), 又由于f(0?0)?limf(x)?limarctanx?0?x?0?1x??2,

从而A??2.

x?0(2) 由于f(x)是个分段函数，要使f(x)连续，只需证明f(x)在

f(0?0)?f(0?0),

处连续，即

又由于

f(0?0)?lim?3x?2x?k??k,2x?0?f(0?0)?limsin2xxx?0??lim2x?0?sin2x2x ?2,故 k?2.

(3) 由于f(x)是个分段函数，要使f(x)连续，只需证明f(x)在x?0处连续，即

f(0?0)?f(0?0),

又由于

f(0?0)?lim?ax?3cos2x??3,x?0?f(0?0)?lim?ex?0?ax?2a??1?2a,

故 a??1.

(4) 由于f(x)是个分段函数，要使f(x)连续，只需证明f(x)在

f(0?0)?f(0?0)?f(0),

x?0处连续，即

又由于

1f(0?0)?lim1?cosaxsinbx12x?0??lim2x?0??ax?22?bx??a222b4,1??4x4xf(0?0)?lim(1?4x)?lim?(1?4x)??e,

x?0?x?0???f(0)?a,22a?e,b?4e.2故

2寻找下列函数的可去间断点，并修改或补充间断点处函数值使其连续.

m（1）f(x)?ln(1?kx)； （2）f(x)?xx?x|x|(x?1)22；

1（3）f(x)?cotx； （4）f(x)?sinx?sin.

x?2?x解 (1) 易见f(x)仅在x?0处无定义，故x?0为函数的间断点，且

m limf(x)?limln(1?kx)x?emk,

x?0x?0则x?0为可去间断点，故只需令f(0)?ex?x|x|(x?1)22mk，则f(x)在x?0处连续.

(2) 由于f(x)?x?x?1?|x|(x?1)(x?1),且

由于f(x)在x?0处极限不存在，故不是可去间断点；

112即可使函

x?0由于f(x)在x?1处

limf(x)?2故x?1是函数的可去间断点，可令

,f(1)?数在x?1处连续,

由于f(x)在x?0处极限不存在，故不是可去间断点.

?(3)由于f(x)?cotx，函数仅在x?处没有定义，且

?2?x2limf(x)?limx?cotx?2x???2?limx????tan??x??2?2?x??2?1,

2?xf(?2)?1x??2处连续.

故只需令即可使函数在

(4) 由于f(x)?sinx?sin1，函数仅在x?0处没有定义，且 xlimf(x)?limsinx?sinx?0x?01x?0,故只需令f(0)?0即可使函数在x?0处连续.

3计算下列极限：

（1）lim(n4?n?1?n2)(3n?4)； （2）limx?1n??x?13；

x?1 （3）lim1?x?32?23x??8x； （4）limx(x2?1?x)；

x??? （5）limx?1?442x?12x???x?x?x； （6）lim(x2?x?1?x2?x?1)；

x???（7）limarcsin(x2?x?x)；

x???44解 (1) lim(n4?n?1?n2)(3n?4)?lim(n?n?1?n)(3n?4)

n??n??(n?n?1?n)42 ?lim(n?1)(3n?4)(n?n?1?n)2n??42?32.

(2) 令t?6x,x?t,则

63x?t,x?t,则

3limx?1x?1x?13?limt?1t?123x?1?limt?t?1t?12x?1?32.

(3) lim1?x?32?3x??8x?limx??8?2??8?x3x??1?x?3?