求递推数列通项公式的常用方法
绍兴一中
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：
一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an?Sn?S?，等差数列或n1(n?2)等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列?an?的前n项和为Sn，并且an?Sn?1(，求?an?的通项公式？ n?N*)【解析】：? Sn?1?an，? an?1?Sn?1?Sn?an?an?1，? an?1?11an，又a1?， 22?1?? an???.
?2?反思：利用相关数列?an?与?Sn?的关系：a1?S1,an?Sn?Sn?1(n?2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
跟踪训练1.已知数列?an?的前n项和Sn，满足关系lg?Sn?1?n?n(n?1,2???).试证数列?an?是等比数列.
二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.
例二 已知数列?an?中，a1?1，an?2an?1?1(，求数列n?2)?an?的通项公式. 【解析】：?a1?1，an?2an?1?1(n?2)，?a2?2a1?1?3，a3?2a2?1?7???? 猜测an?2n?1(n?N*)，再用数学归纳法证明.（略）
反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设?an?是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列?an?的通项公式. 三 累加法：利用an?a(a)??(n?a?1?2?a1?n求a?1)通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如
an?1?an?f(n)的递推数列通项公式的基本方法（f(n)可求前n项和）.
?1?例三 已知无穷数列?an?的的通项公式是an???，若数列?bn?满足b1?1，(n?1)，求数列?bn?的通项
2??公式.
nn1?1?【解析】：b1?1,bn?1?bn???(n?1),?bn?b1?(b2?b1)????(bn?bn?1)=1++??+
2?2?- 1 -
?1????2?n?1?1?=2????2?n?1.
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an?1?an?f(n).
1?1?跟踪训练3.已知a1?,an?1?an???(n?N*),求数列?an?通项公式.
2?2?四 累乘法:利用恒等式an?a1naa2a3???n(an?0,n?2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: a1a2an?1an?1?g(n)an的递推数列通项公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积).
例四 已知a1?1,an?n(an?1?an)(n?N*),求数列?an?通项公式. 【解析】：?an?n(an?1?an),?1×××???×an?1n?1aaa,又有an?a123???n(an?0,n?2)= ?anna1a2an?12312n=n,当n?1时a1?1，满足an?n，?an?n. n-1反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an?1?g(n)an.
跟踪训练4.已知数列?an?满足a1?1,an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1(n?2).则?an?的通项公式是. 五 构造新数列: 将递推公式an+1?qan?d（q,d为常数，q?0，d?0）通过(an?1?x)?q(an?x)与原递推公式恒等变成an?1?dd?q(an?)的方法叫构造新数列. q?1q?1例五 已知数列?an?中, a1?1,an?2an?1?1(n?2),求?an?的通项公式. 【解析】:利用(an?x)?2(an?1?x),求得an?1?2(an?1?1),??an?1?是首项为
a1?1?2,公比为2的等比数列,即an?1?2n,?an?2n?1
反思:.构造新数列的实质是通过(an?1?x)?q(an?x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 跟踪训练5.已知数列中, a1?1,an?3六 倒数变换：将递推数列an?1?n?1?an-1(n?2)求数列?an?的通项公式.
can1d11(c?0d,?0,取倒数变成)?? 的形式的方法叫倒数变换.
an?1cancan?dan,求数列?an?的通项公式.
2an?1例六 已知数列?an?(n?N)中, a1?1,an?1?*?1?an11111?2?,???2,???是以?1为首项,公差为2的等【解析】:将an?1?取倒数得:
an?1anan?1an2an?1a1?an?- 2 -
差数列.
11. ?1?2(n?1),?an?2n?1an反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 跟踪训练6.已知数列?an?中,
,an?1?2an,求数列?an?的通项公式. an?2小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案:
1. 证明：由已知可得：Sn?10n?1，当n?2时an?Sn?Sn?1?9?10?n?1，n?1时，
a1?S1?9满足上式. ??an?的通项公式an?9?10?n?1,n?2时
an?10为常数,所以?an?为等比数列. an?12. 解:由已知可求a1?1,a2?3,a3?5,猜测an?2n?1.(用数学归纳法证明).
1?1??1?3. 由已知an?1?an???,?an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)????(an?an?1)=???
2?2??2??1? ????????2?n?1n23?1?????2?2?n?1.
4.n?2时, an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1,an?1?a1?2a2?????(n?1)an?1?nan 作差得: an?1?an?nan,?an?1aaa
?n?1,?3?3,4?4,???,n?n ana2a3an?1?1????n?1n!an?. ??3?4?5????n,a2?1,?an?(n?2),?an??n!2a2???n?2??223n?15. an? 6. an?
n?12
数列
一、 求递推数列通项公式
基础类型 类型1
an?1?an?d及an?1?qan
an?1?an?f(n)
?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。
- 3 -
解法：把原递推公式转化为an?1
例1:已知数列
?an?满足a1?1，an?1?an?21，求an。
n2?n解：由条件知：an?1?an?1111 ???n2?nn(n?1)nn?1分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)
11111111?(1?)?(?)?(?)????????(?) 所以an?a1?1?
22334n?1nn11131?a1?，?an??1???
22n2n 类型2
an?1?f(n)an
an?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an3nan，求an。 n?1 解法：把原递推公式转化为
例2:已知数列
?an?满足a1?2，an?1?an?1n?ann?1解：由条件知，分别令
n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得
(n?1)个等式累乘之，即
aaa2a3a4123n?11??????????n????????????n?
na1a2a3an?1234a1n22，?an? 33n3n?1an (n?1)，求an。 例3:已知a1?3，an?1?3n?2又?a1?解：an?3(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1???????a1
3(n?1)?23(n?2)?23?2?23?23n?43n?7526?????3?3n?13n?4853n?1。
?
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?1?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 (n≥2)，则{an}的通项an??
?___n?1n?2
解：由已知，得an?1当n?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan，用此式减去已知式，得
?2时，an?1?an?nan，即an?1?(n?1)an，又a2?a1?1，
- 4 -
相关推荐：
loading