?a1?1, 类型3
aaa2an!?1,3?3,4?4,???,n?n，将以上n个式子相乘，得an?(n?2)
2a1a2a3an?1。 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中t?q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p例4:已知数列
?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.
an?1?2an?3可以转化为
解：设递推公式
an?1?t?2(an?t)即
an?1?2an?t?t??3.故递推公式为
an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且
等比数列，则bnbn?1an?1?3??2.所以?bn?是以b1?4为首项，2bnan?3为公比的
?4?2n?1?2n?1,所以an?2n?1?3.
变式:（2006，重庆,文,14） 在数列
?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________
?2n?1?3）
（key:an 类型4 数） 。
n。 （或an?1?pan?rq,其中p，q, r均为常an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：
an?1pan1???qn?1qqnq引入辅助数列
?bn?（其中bn?annq），得：
bn?1?p1bn?再待定系数法解决。 qq例5:已知数列解：在an?1?an?中，a1?5,an?1?1an?(1)n?1，求an。
632112?an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1 32322nn令bn?2?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?3?2()
33bn1n1n所以an?n?3()?2()
232
类型5 递推公式为an?2。 ?pan?1?qan（其中p，q均为常数）
解 (特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x2?px?q?0，叫做数列
- 5 -
?an?的特征方程。
若x1,x2是特征方程的两个根， 当x1n?1，其中A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，?x2时，数列?an?的通项为an?Ax1n?1?Bx2n?1，得到关于A、B的方程组）； ?Ax1n?1?Bx2代入an当x1?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1n?1，其中
A，B由a1??,a2??决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，
代入an?(A?Bn)xn?11，得到关于A、B的方程组）
。 例6: 数列
?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b,求an
解（特征根法）：的特征方程是：3x2?5x?2?0。?x21?1,x2?3, ?a?1n?1n?Axn1?Bx2?A?B?(23)n?1。又由a1?a,a2?b，于是 ??a?A?B??A?3b?2a2n?1??b?A?23B???b) 故?B?3(aan?3b?2a?3(a?b)(3) 练习:已知数列
?an?中，a1?1,a22?2,an?2?3an?1?13an，求an。
key:a74?34(?1n?1n?3)。 变式:（2006，福建,文,22） 已知数列
?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).求数列?an?的通项公式；
（I）解： ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1
?2n?1?2n?2?...?2?1?2n?1(n?N*).
类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an))
解法：利用
a???S1????????????????(n?1)n与
?S?1?f(an)?f(an?1)消去
Snn?Sn?1???????(n?2)an?Sn?SnSn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。
例7：数列
?a1n?前n项和Sn?4?an?2n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an.
解：（1）由S?4?a11nn?2n?2得：Sn?1?4?an?1?2n?1
于是S1n?1?S1n?(an?an?1)?(2n?2?2n?1)
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(n?2)或与
所以an?1?an?an?1?111?a?a?n?1n22n?12n.
n?1）的方法，上式两边同乘以2得：?0)）
（2）应用类型4（an?1?pan?qn（其中
p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)2n?1an?1?2nan?2
由
a1?S1?4?a1?1?a1?121?22.于是数列
?2a?是以
nn2为首项，2为公差的等差数列，所以
2nan?2?2(n?1)?2n?an? 类型7
nn?1
r(p?0,an?0) an?1?pan解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an?1例8：已知数列｛an｝中，a1?pan?q，再利用待定系数法求解。
12?an(a?0)，求数列?an?的通项公式. a121解：由an?1??an两边取对数得lgan?1?2lgan?lg，
aa112n?1令bn?lgan，则bn?1?2bn?lg，再利用待定系数法解得：an?a()。
aa?1,an?1? 类型8
an?1?f(n)an
g(n)an?h(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。
例9：已知数列｛an｝满足：an?an?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公式。
3?an?1?1
解：取倒数：
13?an?1?11??3?anan?1an?1?1?111???是等差数列， ??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2ana1?an?变式:（2006，江西,理,22） 已知数列｛an｝满足：a1＝
32，且an＝
3nan－1 求数列｛an｝的通项公式； （n?2，n?N?）2an－1＋n－1｝为一个等比数列，其首项为1－
解：（1）将条件变为：1－
nan＝
1n－1n，因此｛1－（1－）3an－1an1a1＝
11n，公比，从而1－33an1＝n3
n?3n，据此得an＝n（n?1）
3－1类型9周期型
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解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列
?an?满足an?11?2a,(0?a?)n?6?n2??，若a1?，则a20的值为___________。
7?2a?1,(1?a?1)nn?2?变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列{an}满足a1?0,an?1?an?33an?13
(n?N*)，则a20=
（ ）
A．0
B．?C．
3
D．
3 2二、数列的求和
?na1??q?1n(a1?an)n(n?1)d?Sn??a1(1?qn)?na1?：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 Sn?； ；
??q?122?1?q?10．（辽宁卷）已知等差数列?an?的前n项和为Sn?pn2?2a?q(p,q?R),n?N
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an?2log2bn，求数列的{bn}前n项和. . (Ⅰ)解法一：当n?1时，a1?S1?p?2?q,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pn?p?2.
??an?是等差数列,
?p?2?q?2p?p?2, ?q?0············4分
解法二：当n?1时,a1?S1?p?2?q,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pm?p?2. 当n?3时,a1?an?1?2pn?p?2?[2p(n?1)?p?2]?2p.
a2?p?2?q?2p?3p?2?q.
又a2?2p?2?p?2?3p?2,
所以3p?2?q?3p?2,得q?0.············4分
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