2019高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1．若复数
（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
D．6
A．﹣2 B．﹣6 C．4
2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（ ） A．{1} B．{1，2} C．[1，2） D．[1，2]
3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（ ）
4．若函数A．0
B．0或
C． D．
1
5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．[4，+∞） D．[10，+∞）
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．
7．数列{an}满足an+1（an﹣1﹣an）=an﹣1（an﹣an+1），若a1=2，a2=1，则a20=（ ） A．8．长为
B．
C．
D．
2
2
2
的线段AB在双曲线x﹣y=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x﹣2上的
点，则△ABC面积的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．7
9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（ ） A．10．将函
则θ的最小值是（ ） A．
B．
C．
D．
B．
C．
D．
数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，
11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱积是（ ）
A．12π B．32π C．36π D．48π
12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（ ） A．3
B．5
C．7
D．9
，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知
，若存在向量使
，则
= ．
14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 ．
2
2
15．非零实数a，b满足tanx=x，且a≠b，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ． 16．已知椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，
P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PFi（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且角A的内角平分线，
．
为
（1）求三角形内角C的大小； （2）求△ABC面积的S．
18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．
（1）求证：CN∥平面AB'M；
（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．
19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．
3
分数 甲班频数 乙班频数
[0，90） 5 1
[90，105） [105，1200） [120，135） [135，150）
6 3
4
4 6
1 5
（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．
成绩优良 成绩不优良 总计
附：K=临界值表： P（K≥k0）
k0
22
甲班
，（n=a+b+c+d）
乙班
总计
0.10 2.706
2
2
0.050 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）+y=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M． （1）求M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若
，求△ABO的面积的取值范围．
21．已知f（x）=零点．
（1）求a的值；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=
[选修4-4：参数方程与极坐标系]
22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
4
且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在
成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．
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