∵|PM|＝|PF|，
由抛物线定义，可知PM垂直于准线，可得M(x，－1)， x2
又|PM|＝|MF|，可得＋1＝4解得x1＝23，x2＝－23，
当x＝－23时，P(－23，3)，M(－23，－1)， △FPM为等边三角形?△FPM外接圆圆心与重心重合， ∴外接圆圆心坐标为?43?即?－， ?3，1?外接圆半径为r＝
x2＋4，
?－23－23＋03－1＋1?
?， ，33??
?－43＋23?2＋?1＋1?2＝43，
3?3?
4343?
，1，半径为3， ?3?
同理可得当x＝23时，圆心坐标为?
1643
∴外接圆方程为?x±?2＋(y－1)2＝.
3?3?
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为( )
A.－1 B.1 C.±1 D.0 答案 A
解析 化圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0为(x＋k2)2＋(y＋1)2＝k4－4k＋1. 则圆心坐标为(－k2，－1)，
∵圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称， ∴直线y＝x经过圆心， ∴－k2＝－1，得k＝±1.
当k＝1时，k4－4k＋1<0，不合题意， ∴k＝－1.
x2y2
(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C：－＝1的左、右顶
m2点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________.
答案 x2＋(y－3)2＝10
916
解析 ∵P(3,4)为C上一点，－＝1，
m24
解得m＝1，则B(1,0)，∴kPB＝＝2，
21
PB的中垂线方程为y＝－(x－2)＋2，
2令x＝0，则y＝3， 设外接圆圆心为M(0，t)， 则M(0,3)，r＝|MB|＝
1＋32＝10，
∴△PAB外接圆的标准方程为x2＋(y－3)2＝10. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法.
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
??Ax＋By＋C＝0，?
222
??x－a?＋?y－b?＝r，?
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0.
2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.
3.圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题.
2例3 (1)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝r21(r1>0)，圆C2：(x＋1)
＋(y＋1)2＝r22(r2>0)，圆C1与圆C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为________. 答案
72
25
解析 根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A，B.
当公切线AB与直线C1C2平行时，公切线AB斜率不为7， 即r1≠r2，不妨设r1 过C1作EC1∥AB，交AC2于点E， 则|EC2|＝r2－r1，|AB|＝|EC1|， |C1C2|＝ ?2＋1?2＋?2＋1?2＝32＝r1＋r2， 2＋1 直线C1C2的斜率为k＝＝1， 2＋1又kAB＝7， 所以直线AB与直线C1C2的夹角的正切值为 ?1－7?3tan α＝??＝4. 1＋7?? |EC2|3 在直角三角形EC1C2中，＝， |EC1|44 所以|EC1|＝(r2－r1)， 3又|EC1|2＋|EC2|2＝|C1C2|2， 4?222 整理得??3?r2－r1??＋(r2－r1)＝(r1＋r2)， 解得4r1＝r2， 又32＝r1＋r2， 32122 解得r1＝，r2＝， 553212272 所以r1r2＝×＝. 5525 (2)(2019·淄博模拟)已知直线l：y＝－2x－m(m>0)与圆C：x2＋y2－2x－2y－23＝0，直线l与→→→ 圆C相交于不同两点M，N.若|MN|≤2|CM＋CN|，则m的取值范围是( ) A.[5，5) C.(5,55) 答案 B 解析 圆C的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝25， ∴C(1,1)，圆C半径r＝5， →→→若|MN|≤2|CM＋CN|， →→→则|MN|2≤4|CM＋CN|2， →→→→→即|MN|2≤4|CM|2＋4|CN|2＋8CM·CN， →→→∴|MN|2≤100＋100＋8|CM|·|CN|cos∠MCN， → 25＋25－|MN|2 →2 ∴|MN|≤100＋100＋200×， 50→ ∴|MN|≤45， 设圆心C到直线y＝－2x－m的距离为d， 则2r2－d2＝2 B.[2,55－3) D.(3，2) ?|3＋m|?2 25－??≤45， ?5? 解得m≥2(舍负)， 又直线y＝－2x－m与圆C相交，可得d 5 综上所述m的取值范围是[2,55－3). 跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被 y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为( ) A.10 B.43 C.8 D.215 答案 D aa8 ，a?，而r2＝??2＋??2， 解 设圆心M??2??2??2?aa x－?2＋(y－a)2＝＋16， ∴圆M的方程为??2?4 4 2 2 2 当y＝0时，得x2－a2x＋a2－16＝0， 设圆与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2， 则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2－16， ∴|x1－x2|＝＝ ?x1＋x2?2－4x1x2 ?a2－2?2＋60 a4－4a2＋64＝≥60＝215. (2)(2019·绵阳诊断)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 公共弦的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0， 所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正确； 又2ax2＋2by2－a2－b2＝0， 所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正确； AB的中点为直线AB与直线C1C2的交点， 又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0， C1C2：bx－ay＝0. ?? 由???bx－ay＝0 2ax＋2by－a2－b2＝0， ? 得?b y＝?2. ax＝，2 故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正确.
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