最新全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案汇总

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【详解3】 根据牛顿第二定律，得 ?Skip Record If...?, ?Skip Record If...?，

其特征方程为 ?Skip Record If...?，解之得?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...? 由 ?Skip Record If...?，

得 ?Skip Record If...? 于是 ?Skip Record If...? 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?

所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?是曲面?Skip Record If...?的上侧.

【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加的曲面上应用直接投影法求解即可.

【详解】 取?Skip Record If...?为xoy平面上被圆?Skip Record If...?所围部分的下侧，记?Skip Record If...?为由?Skip Record If...?与?Skip Record If...?围成的空间闭区域，则

?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 由高斯公式知

?Skip Record If...? =?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 而 ?Skip Record If...?， 故 ?Skip Record If...?

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（18）（本题满分11分）

设有方程?Skip Record If...?，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实

根?Skip Record If...?，并证明当?Skip Record If...?时，级数?Skip Record If...?收敛.

【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性。而正项级数的敛散性可用比较法判定。

【证】 记 ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，及连续函数的介值定理知，方程?Skip Record If...?存在正实数根?Skip Record If...?

当x>0时，?Skip Record If...?，可见?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上单调增加, 故方程?Skip Record If...?存在惟一正实数根?Skip Record If...?

由?Skip Record If...?与?Skip Record If...?知

?Skip Record If...?，故当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?. 而正项级数?Skip Record If...?收敛，所以当?Skip Record If...?时，级数?Skip Record If...?收敛.

（19）（本题满分12分）

设z=z(x,y)是由?Skip Record If...?确定的函数，求?Skip Record If...?的极值点和极值.

【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.

【详解】 因为 ?Skip Record If...?，所以

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?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?.

令 ?Skip Record If...? 得 ?Skip Record If...? 故 ?Skip Record If...?

将上式代入?Skip Record If...?，可得

?Skip Record If...??Skip Record If...? 或 ?Skip Record If...? 由于 ?Skip Record If...?， ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?，

所以 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，

故?Skip Record If...?，又?Skip Record If...?，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.

类似地，由

?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，

可知?Skip Record If...?，又?Skip Record If...?，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3.

（20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 ?Skip Record If...?

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判

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断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可。

【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 ?Skip Record If...?

当a=0时， r(A)=1

?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 于是方程组的通解为

?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...?为任意常数. 当?Skip Record If...?时，对矩阵B作初等行变换，有 ?Skip Record If...?

可知?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，故方程组也有非零解，其同解方程组为

?Skip Record If...? 由此得基础解系为 ?Skip Record If...?， 于是方程组的通解为

?Skip Record If...?，其中k为任意常数.

【详解2】 方程组的系数行列式为 ?Skip Record If...?.

当?Skip Record If...?，即a=0或?Skip Record If...?时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ?Skip Record If...?， 故方程组的同解方程组为

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?Skip Record If...? 由此得基础解系为

?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 于是方程组的通解为

?Skip Record If...? 其中?Skip Record If...?为任意常数. 当?Skip Record If...?时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?， 故方程组的同解方程组为 ?Skip Record If...? 由此得基础解系为 ?Skip Record If...?， 于是方程组的通解为

?Skip Record If...?，其中k为任意常数.

（21）（本题满分9分）

设矩阵?Skip Record If...?的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化.

【分析】 先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可.

【详解】 A的特征多项式为 ?Skip Record If...? =?Skip Record If...?

当?Skip Record If...?是特征方程的二重根，则有?Skip Record If...? 解得a= -2.

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